المعلم رياضيات الصف 12
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
الحظ أننا عندما نقدِّ ر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم ، فإننا نبحث عن قيمة f(x) عندما تقترب x من c<br />
من كال الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النه اية من جهة ٍ واحدة.<br />
النهاية من اليصار<br />
اإا اتب f (x) م و ن L 2<br />
اتا x م ال c م الشا اإ<br />
وقا lim<br />
x→ c - f(x) = L 2<br />
L 2 الشا م c م x قت نما f(x) هاي<br />
O<br />
النهاية من اليمين<br />
اإا اتب f (x) م و ن L 1<br />
اتا x م ال c م ال اإ<br />
وقا lim f(x) = L<br />
x→ c + 1<br />
L 1 ال م c م x قت نما f(x) هاي<br />
يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النه اية من جهتين ، وما يعنيه كونها موجودة.<br />
والشا ال م النهايتا ا اإا وق اإا c م x قت نما مج f (x) هاي <br />
مج ومتشاويت ا ا<br />
y<br />
y = g(x)<br />
−3<br />
x<br />
⎪2<br />
f (x)<br />
x⎥<br />
= _ x<br />
O<br />
g(x) = ⎧ ⎨<br />
⎩<br />
y<br />
x<br />
lim f(x) = lim f(x) = L<br />
- x→ c x→ c +<br />
اإا وق اإا ا lim f(x) = L<br />
x→c<br />
قد ِّ ر - إن أمكن - كلا ّ ً من النهايات الآتية باستعمال التمثيل البياني للدالة:<br />
4 , x ≠ - 3<br />
-2 , x = - 3<br />
_<br />
_<br />
_<br />
|2x|<br />
lim<br />
x→ 0 - x<br />
, lim |2x|<br />
x→ 0 + x<br />
, lim |2x|<br />
(a<br />
x→0 x<br />
|2x| f (x) = _ أن:<br />
x<br />
يُبيّن التمثيل البياني للدالة <br />
lim _ |2x| = -2 , lim<br />
x→0 - x _ |2x| <br />
x→0 + x = 2<br />
وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين ، فإن<br />
lim غير موجودة.<br />
<br />
_<br />
|2x| <br />
x→0 x<br />
، lim g(x) , lim g(x) , lim g(x) (b حيث<br />
- x→- 3 x→- 3 + x→-3<br />
يُبيّن التمثيل البياني للدالة g(x) أن:<br />
lim g(x) = 4 , lim g(x) = 4<br />
x→-3 - x→-3 + <br />
وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان ، فإن g(x) lim موجودة<br />
x→-3<br />
وتساوي 4.<br />
تحقق من فهمك<br />
النهايات من جهة احدة<br />
<br />
<br />
النهاية من اليمين النهاية<br />
من اليصار للدالة<br />
لناش النهاي م ال<br />
لال ن c ي ا ش<br />
ا الال م ل ي c<br />
(c, b).ت ل<br />
ولناش النهاي م الشا<br />
لال ن c ي ا ش<br />
ا الال م ل يشا c<br />
.(a, c) ت ل<br />
النهاية ند نقة<br />
3 تقدير النهاية من جهة احدة من جهتين<br />
<br />
صف النهاية<br />
اإا انت النهايتا من<br />
اليصار من اليمين ير<br />
متصايتين،فاإننا نقول اإ<br />
النهاية ير موجوة<br />
<br />
مثال اإصافي<br />
قدِّ ر -إن أمكن - كال ّ ً من النهايات<br />
الآتية:<br />
التمثي الياني للدال<br />
يمنك اصتعمال اللة<br />
الحاصة اليانية لتمثي<br />
الدال بيانيا في جمي<br />
المثلة<br />
,3A) B انظر ملحق الإجابات<br />
lim<br />
x→ 1<br />
f (x), lim f (x), (a<br />
- +<br />
x→ 1<br />
f(x) ، lim حيث<br />
x→1<br />
f (x) = ⎧ ⎨ ⎩ - x 2 - 1 , x < 1<br />
x + 2 , x ≥ 1<br />
lim f(x) = -2,<br />
- x→ 1<br />
lim f(x) = 3,<br />
+ x→ 1<br />
lim f(x)≠ lim f(x)<br />
إذن، + 1 x→ - x→ 1<br />
lim غير موجودة<br />
x→1 f(x)<br />
lim g(x), lim g(x), (b<br />
- + x→ 0<br />
x→ 0<br />
، lim حيث<br />
x→0 g(x)<br />
⎧<br />
g(x) = ⎨<br />
x 2 - 1 , x < 0<br />
1_<br />
⎩ 4 x - 1 , x ≥ 0<br />
lim g(x) = -1,<br />
- x→ 0<br />
lim g(x) = -1,<br />
+ x→ 0<br />
lim g(x)= lim g(x)<br />
- x→ 0 x→ 0 +<br />
إذن، g(x) lim موجودة<br />
x→0<br />
وتساوي 1-<br />
3<br />
قد ِّ ر -إن أمكن- كلا ّ ً من النهايات الآتية باستعمال التمثيل البياني للدالة:<br />
، lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) (3A حيث: ، lim g(x), lim g(x) , lim g(x) (3B حيث:<br />
x→-2 - x→-2 + x→-2 x→1 - x→1 + x→1<br />
g(x) = ⎧ ⎨ ⎩ -0.5x + 2 , x < - 2<br />
-x 2 f(x) = ⎧ ⎨ , x ≥ - 2<br />
⎩ x 3 + 2 , x < 1<br />
2x + 1 , x ≥ 1<br />
162 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق<br />
162 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق
Change language