المعلم رياضيات الصف 12

تساعد مسائل التمثيلات المتعددة الطلاب على تصو ُّ ر المفاهيم وتعميق الفهم،‏
وتتضمن:‏ العبارات اللفظية والعددية والجبرية والتمثيل البياني والجداول ... إلخ.‏
Solving Trigonometric Equations
التمثيل البياني للدالة المثلثية مكو ّ ن من النقط التي إحداثياتها تحق ّ ق الدالة.‏ ولحل المعادلة المثلثية،‏ تحتاج إلى إيجاد قيم المتغي ّر التي تحق ّ ق المعادلة
جميعها.‏ بإمكانك استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire ؛ لحل المعادلات باستعمال التمثيل،‏ وذلك بتمثيل كل ٍّ من طرفي المعادلة بوصفها دالة على
حدة ، ثم إيجاد نقاط التقاطع.‏
استعمل الحاسبة البيانية لحل ّ المعادلة = 0.4 x ، sin إذا كانت 360° < x ≤ 0° .
ثم
1 تمثيل الدالتين بياني ّ ًا
ومنها
ثم اضبط الحاسبة على نظام الدرجات بالضغط على مفتاح أعد كتابة المعادلة على شكل دالتين = 0.4 (x) . f 1 (x) = sin x , f 2
مث ّل الدالتين بياني ّ ًا بالضغط على المفاتيح:‏
x 0.4
حدد فترة الرسم المطلوبة بالضغط على واختر منها ثم
وحدد القيمة الصغر ل ِ x ب ِ 0° ، والقيمة العظمى ل ِ x ب ِ 360°،
كذلك حدد القيمة الصغر ل y ب ِ 1- ، والقيمة العظمى ل y ب ِ 1 ِ ِ
2 تحديد الحلول
ثم اختر
واختر منها استعمل ميزة في إيجاد قيم تقريبية للحلول بالضغط على مفتاح ، واضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك المؤشر مرور ً ا بكل نقاط التقاطع في 360° < x ≤ 0° ، ستكون
الحلول هي:‏‎23.6°‎ ≈ x x ≈156.0° ,
1
13
W = eAS cos θ ( a
1 - 1
أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية:‏ 1
1_
2
0° < θ < 90° ، cot θ إذا كان = 2 ، tan θ (1
_ 3 √ 5
0° < θ < 90° ، cos θ = 2_
_
(2 θ ، csc إذا كان
5
3
- 12 270° < θ < 360° ، cos θ = 5_ إذا كان ، sin θ (3
13
13
√ 2 270° < θ < 360° ، tan θ = إذا كان -1 ، sec θ (4
2 √ 2 180° < θ < 270° ، sec θ = إذا كان -3 ، tan θ (5
_- √ 17
180° < θ < 270° ، cot θ = 1_ إذا كان ، csc θ (6
4
4
_-3
90° < θ < 180° ، sin θ = 4_ إذا كان ، cos θ (7
5
5
_ 2 √ 77
sin θ < 0 ، sec θ = - 9_ إذا كان ، cot θ (8
77
2
بس ِّ ط كل عبارة مما يأتي:‏ 2
1 csc 2 θ - cot 2 sin θ cos θ
θ (10
tan θ cos 2 θ (9
sec 3 θ
sec θ tan 2 θ + sec θ cot 2 cos θ csc θ
( 12
θ _ ( 11
tan θ
1 sin ( π_
2 - θ) sec θ ( 14 csc θ sin θ (1 + cot 2 θ) ( 13
cos 2 θ
cos (-θ)
(1 + sin θ)(1 - sin θ ) ( 16 -cot θ _ ( 15
sin (-θ)
csc θ -cos θ cot θ ( 18 2 cos 2 θ 2 - 2 sin 2 θ ( 17
sin θ
عندما يمر الضوء من خلال عدسة مستقطبة للضوء،‏ فإن
شدة الضوء المار بهذه العدسة سيقل بمقدار النصف،‏ ثم إذا م ّر
الضوء بعدسة أخر بحيث يكون محور هذه العدسة يصنع زاوية
قياسها θ مع محور العدسة الأولى،‏ فإن شدة الضوء تقل مرة أخر‏.‏
- 0 ، I = I حيث
I 0_
csc 2 θ
يمكننا إيجاد شدة الضوء باستعمال الصيغة
I 0 شدة الضوء القادمة من العدسة الأولى المستقطبة،‏ I هي شدة
الضوء الخارجة من العدسة الثانية،‏ θ الزاوية بين محوري
العدستين.‏ 3
1
1
2
2
I = I 0 cos 2 θ cos θ بس ّ ط الصيغة بدلالة (a
b) استعمل الصيغة المبسطة؛ لمعرفة شدة الضوء المار بالعدسة
الثانية بدلالة شدة الضوء قبل المرور بها إذا كان محور العدسة
الثانية يصنع زاوية قياسها 30° مع محور العدسة الأولى.‏
= I؛ _3 شدة الضوء تساوي ثلاثة أرباع شدة
4 I 0 (27 b
الضوء قبل المرور بالعدسة الثانية.‏
e ترتبط قدرة كل جسم على امتصاص الطاقة بعامل
ي ُسم ّ ى قابلية الامتصاص للجسم.‏ ويمكن حساب قابلية الامتصاص
، e = W _ sec θ حيث W معدل امتصاص جسم
AS
باستعمال العلاقة
الإنسان للطاقة من الشمس،‏ و S مقدار الطاقة المنبعثة من الشمس
بالواط لكل متر مرب ّع،‏ و A المساحة السطحية المعر ّ ضة لأشعة
الشمس،‏ و θ الزاوية بين أشعة الشمس والخط العمودي على الجسم.‏
W. حل المعادلة بالنسبة ل ِ a)
e = 0.80 , θ = 40° , A إذا كانت = 0.75 W أوجد (b
. S = 1000 /W m 2 ‏(قر ِّ ب إلى أقرب جزء من مئة).‏
459.63W
في هذه المسألة،‏ سوف تستعمل الحاسبة
البيانية ؛ لتحدد ما إذا كانت معادلة ما تمث ِّل متطابقة مثلثية أم لا.‏ هل
ت ُمث ّل المعادلة:‏ tan 2 θ - sin 2 θ = tan 2 θ sin 2 θ متطابقة؟
a) أكمل الجدول الآتي.‏
θ 0° 30° 45° 60°
tan 2 θ - sin 2 θ 0 1_
12
tan 2 θ sin 2 θ 0 1_
12
1_
2
1_
2
9_
4
9_
b) استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا ّ ً من طرفي المعادلة
انظر الهامش.‏
c) ‏"إذا كان التمثيلان البيانيان لدالتين متطابقين ؛ فإن
المعادلة تمث ِّل متطابقة".‏ هل التمثيلان البيانيان في الفرع (b)
متطابقان؟ نعم
d) استعمل الحاسبة البيانية لمعرفة ما إذا كانت المعادلة:‏
tan 2 θ - sin 2 θ = tan 2 θ sin 2 θ كدالة ، بياني ّ ًا.‏
sec 2 x - 1 = sin 2 x sec 2 x تمث ِّل متطابقة أم لا.‏ ‏(تأكد أ ّن
الحاسبة البيانية بنظام الدرجات)‏ نعم
يتزل ّج شخص كتلته m في اتجاه أسفل هضبة
ثلجية بزاوية قياسها θ درجة وبسرعة ثابتة.‏ عند تطبيق قانون نيوتن في
مثل هذه الحالة ينتج نظام المعادلات الآتي:‏
µ k = tan θ
θ
g حيث ، F n - mg cos θ = 0 , mg sin θ - µ k F n = 0
تسارع الجاذبية الأرضية،‏ و F n القوة العمودية المؤث ّرة في المتزلج،‏
و µ k معامل الاحتكاك.‏ استعمل هذا النظام لتكتب µ k كدالة في θ.
4
(20
(21
(22
θ
(19
استعمل الحاسبة البيانية لحل ّ المعادلة:‏ = 0 x ،tan 2 x cos x + 3 cos إذا كانت 360° < x ≤ 0° .
1 تمثيل الدالتين بياني ّ ًا
أعد كتابة المعادلة على شكل دالتين،‏ = 0 (x) . f 1 (x) = tan 2 x cos x + 3 cos x , f 2
مث ّل الدالتين بياني ّ ًا بالضغط على المفاتيح:‏
0
x 2 x + 3 x
2
2 تحديد الحلول
هاتان الد ّ التان لا تتقاطعان؛ لذلك ليس للمعادلة:‏ = 0 x tan 2 x cos x + 3 cos حلول حقيقية.‏
sin 2 x - 3 sin x = 0 ; -360° ≤ x < 360° ( 6 0° , 60° , 180° , 300° sin 2 x = sin x ; 0° ≤ x < 360° ( 5
-360°, -180°, 0° , 180°
31 1 - 5
1 - 5
توفر هذه المعامل للطلاب فرصة ً لفهم
الرياضيات من خلال التمثيلات البيانية.‏
استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلات الآتية لقيم x جميعها الموضحة بجانب كل ٍّ منها:‏
38.17° , 141.8° tan x = cos x ; 0° ≤ x < 360° ( 2
44.4° , 135.6° sin x = 0.7 ; 0° ≤ x < 360° ( 1
3 لا يوجد حلول حقيقية ( 4 لا يوجد حلول حقيقية
0.25 cos x = 3.4 ; -720° ≤ x < 720° 3 cos x + 4 = 0.5; 0° ≤ x < 360°
(
T8