المعلم رياضيات الصف 12

للضرب االتجاهي تطبيقات هندسية عديدة،‏ فمثالً‏ مقدار المتجه u × v أو المقدار |v u| × يُعب ِّر عن مساحة متوازي
األضالع الذي فيه u , v ضلعان متجاوران كما في الشكل . 1.5.1
أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه:‏ u = 2i + 4j - 3k , v = i - 5j + 3k ضلعان متجاوران.‏
الوة 1 أوجد u × v
i j
=​​⎜
​​
​ 2 ​
​​k
u = 2i + 4j - 3k , v = i - 5j + 3k u × v 4 -3 ​​ ​
1 -5
=​​
باإجا م مح الج الال
=
باإجا م مح الج الا
الا متج
ب
⎜
4
​
-5
-3
3⎟ ​
3⎟ ​i - ⎜ 2 1
-3i - 9j - 14k
-3
3⎟ j + ⎜ 2 1
4
-5⎟ k
الوة 2 أوجد طول u × v
|u × v| = √​ (-3) ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ 2 + (-9) ​ 2 + (-14) 2 ​
= √​ÇÇ​ 286 ≈​16.91
أي أن مساحة متوازي األضالع في الشكل ، 3.5.1 تساوي 16.91 وحدةً‏ مربعةً‏ تقريبًا.‏
تحقق من فهمك
(4 أوجد مساحة متوازي األضالع الذي فيه:‏ u = -6i -2j + 3k , v = 4i +3j + k ضلعان متجاوران .
ال القا‏ ال إذا التقت ثالثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية،‏ فإنها تكو ّ ن أحرفًا متجاورة
ل مت وازي سطوح،‏ وهو عبارة عن مجسمٍ‏ له ستة أوجهٍ،‏ كل ٍ وجه منها على شكل متوازي أضالع كما في الشكل 3.5.2
أدناه،‏ إن القيمة المطلقة للض رب القياسي الثلاثي لهذه المتجهات هو عدد يُمث ِّل حجم متوازي السطوح.‏
اإا ا t = t 1 i + t 2 j + t 3 k , u = u 1 i + u 2 j + u 3 k , v = v 1 i + v 2 j + v 3 k
t · (u × v) =
⎜
t 1
u 1
v 1
t 2
u 2
v 2
t 3
u 3
v 3
⎟
ماح موا ا ف الا
√ ÇÇ 545 أو حوالي 23.35 وحدة ً مربعة ً .
ال القا‏ ال
ال ,t ,u v للمتجهات ال الا ال اإ
ح موا الو
للمل الدد
ال الدال ال الإتا
الحظ أن عملية الضرب الداخلي إبدالية
بخالف عملية الضرب االتجاهي.‏
المحو الا
موا الو هو مجسم ثالثي
األبعاد في الفضاء،‏ له ستة أوجه،‏ كل منها
على شكل متوازي أضالع،‏ وإذا التقت
ثالثة متجهات من األحرف االثني عشر
في مستويات مختلفة في نقطة واحدة،‏
فإنها تشكل أحرفًا متجاورة لمتوازي
السطوح.‏
وحجم متوازي السطوح يساوي ناتج
ضرب مساحة سطح القاعدة في االرتفاع،‏
كما يساوي الضرب القياسي لثالثيات
المتجهات.‏
وهناك حاالت خاصة من متوازي
السطوح منها:‏
المكعب ‏)جميع أوجهه مربعات(.‏
متوازي المستطيالت ‏)جميع أوجهه
مستطيالت(.‏
4
5
z
v
O
u
x
ال 3.5.1
y
أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه:‏ t = 4i - 2j - 2k , u = 2i + 4j - 3k , v = i - 5j + 3k
t = 4i - 2j - 2k
u = 2i + 4j - 3k
v = i - 5j + 3k
t · (u×v)
4
2 =​​⎜ ​ 1
= ⎜
-2
4
-5
3⎟ ​
-2
-3
3⎟ (4) - ⎜ 2 1
4 -3
-3
5- اج م مح الم م ال × 3 3
=​-12 + 18 + 28 = 34
3⎟ (-2) + ⎜ 2 1
أحرف متجاورة.‏
4
-5⎟ (-2)
ب
أي أن حجم متوازي السطوح في الشكل 3.5.2 هو |(v t|​، · u) × ويساوي 34 وحدةً‏ مكعبةً‏ .
تحقق من فهمك
(5 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه:‏ t = 2j - 5k , u =​-6i - 2j + 3k , v = 4i + 3j + k
أحرف متجاورة.‏
للمل الدد
نبه الطالب إلى أن اختالف الترتيب
للمتجهات الثالثة في الضرب القياسي
الثالثي ال يؤثر على القيمة المطلقة للناتج.‏
86 وحدة ً مكعبة ً .
z
v
O
u
x
t
ال 3.5.2
y
الدرص - 5 3 ال الال ال الجا للمتجهات الا 115
تو الل
الملمو المقو اطلب إلى الطالب إيجاد الضرب االتجاهي للمتجهين:‏ ، u = 2 i - 3 j + 4 k , v = 3 i - 2 j - 5 k
بوضع العدد المناسب في الفراغات في المعادلة الآتية:‏
u × v =​​⎜​
i
2
3
j
-3
-2
k
4
-5
⎟
=
⎜ -3
-2
4
-5⎟ ⎜ i - 2 3
4
-5 ⎟ ⎜ j + 2
3
-3
k =​ 23 ​i -​ -22 ​j +​5​k
-2 ⎟
الدرص - 5 3 ال الال ال الجا للمتجهات الا 115