المعلم رياضيات الصف 12

4 القو
با مافاة اطلب إلى الطالب كتابة
متجه غير وتوضيح ذلك طريقة إيجاد طوله باستعمال
الضرب الداخلي.‏
اإجابات
(25 بما أن = 0 v ،u · فإن المتجهين
متعامدان .
26) ليسا متعامدين،‏ وال متوازيين،‏ حيث إن
الزاوية بين المتجهين ° 167 = .θ
وقياس الزاوية بين المتجهين المتوازيين
إما 0 أو 180°، وبين المتجهين
المتعامدين 90°
29) المتجهات التي تشكل المثلث:‏
A​〈​2,​4​〉,​B​〈​4,​-6​〉,​C​〈​6,​-2​〉
b.c
​ ​ cos​A​=​ __ ​
⎜b⎜​.​⎜c⎜ ​ ​=​ __ 36 ​ ​ ​√​Ç​ 52​​.​ ​ ​√​Ç​ 40​​ ​ ​
​ ​
9
=​ __ ​
​ ​ ​√​ÇÇ​ 130​​ ​
A​=​cos -1 9
​ __ ​
​ ​ ​√​ÇÇ​ 130​
a.b
​ ​ cos​B​=​​ __ ​
⎜a⎜​.​⎜c⎜ ​​=​ _ 2 ​
5 √​Ç​
2​
​ ​ B​=​cos -1 2
​=​​ _​ ​ ​​ ≈
5​ ​ ​√​Ç​ 2​
اختبر كل زوج من المتجهات في كل ٍّ مما يأتي،‏ من حيث كونها متعامدة،‏ أو
متوازية،‏ أو غير ذلك.‏
أوجد قياس الزاوية بين كل متجهين في كل ٍّ مما يأتي،‏ قر ّ ب الناتج إلى أقرب
ع ُ شر ٍ .
C​=​180°-(A+B)​≈
إذن قياسات زوايا المثلث
32) العبارة خاطئة؛ إذ قد تكون نقطة بداية
للمتجهات الثالثة واحدة وال تشكل
هذه المتجهات مثلثًا مطلقً‏ ا،‏ إذا كان
األمر كذلك،‏ فإن الزاوية بين المتجهين
d و f تكون حادة أو قائمة أو منفرجة.‏
29.7° u = i + 5j, v = -2i + 6j ( 27
164.9° u = 4i + 3j, v = -5i - 2j ( 28
النقاط:‏ 1) (8, 7), (4, 3), (2, تُمث ِّل رؤوس مثلثٍ‏ ، أوجد قياسات
زواياه باستعمال المتجهات.‏
إذا علمت كلا ّ ً من ∣v∣ ,u والزاوية θ بين المتجهين ، ,u v فأوجد قيم ًة
ممكنة ً للمتجه ، v قر ّ ب الناتج إلى أقرب جزء ٍ من مئة ٍ .
〈3.16, -9.49〉 u = 〈4, -2〉, |v| = 10, θ = 45° ( 30
〈-5.36, 0.55〉 u = 〈3, 4〉, |v| = √​Ç​ 29 , θ =​121° ( 31
32 ت اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية:‏ خطأ؛ انظر الهامش
إذا كانت |f| ,|d| ,|e| تُمث ِّل ثالثية فيثاغورس،‏ وكانت الزاويتان بين
d , e وبين e , f حادتين،‏ فإن الزاوية بين d , f يجب أن تكون قائمة.‏
فس ِّ ر تبريرك.‏
ا الا يدرس كل ٌّ من فهدٍ‏ وفيصلٍ‏ خصائص الضرب
الداخلي للمتجهات،‏ فقال فهد:‏ إن الضرب الداخلي للمتجهات
عملية تجميعية؛ ألنها إبدالية؛ أي أن:‏
w) ،(u · v) · w = u · (v · ولكن فيصل عارضه،‏ فأيهما كان على
صواب؟ وض ِّ ح إجابتك.‏ فيصل؛ u · v عدد ثابت،‏ وعليه فإن
u) · (v · w ليس معرف ًا؛ لأنه لا يمكن إجراء الضرب الداخلي
بين مقدار ٍ ٍ ثابت ومتجه.‏
ا وض ّ ح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.‏
انظر الهامش
با إذا كان:〈‏ ، u = 〈 u 1 , u 2 〉, v = 〈 v 1 , v 2 〉, w = 〈 w 1 , w 2
فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:‏ - 37 35 ( انظر ملحق الإجابات
u · v = v · u
u · (v + w) = u · v + u · w
k(u · v) = ku · v = u · k v
با إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u , v يساوي 90°،
فأثبت أن = 0 v u · باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.‏ انظر ملحق الاجابات
ما قياس الزاوية بين المتجهين 〈1- ,1-〉 , 〈0 ,9-〉 ؟
90° C 0° A
135° D 45° B
〈-14, 8〉 C 〈14, 8〉 A
〈-14, -8〉 D 〈14, 6〉 B
,25) 26 انظر الهامش
( 39 B متعامدان
( 25
(40 إذا كان:〈‏‎2‎ 〈-6, = t ، s = 〈4, -3〉, فأي ٌّ مما يأتي يمث ِّل ، r حيث
C ؟ r = t - 2s
انظر الهامش
u = -​ 2_
3 , 3_ , v = 〈9, 8〉
4
u = 〈-1, -4〉, v = 〈3, 6〉 (26
(29
(
(33
(34
(35
(36
(37
(38
تو الل
تو‏ في الشكل المجاور،‏ أوجد R مقدار محصلة القو .
‏)إرشاد:‏ أوجد الصورة اإلحداثية لكل قوةٍ(.‏
23.9,​8.4​〉 〈 ومقدارها 25.3N تقريبًا.‏
34) إجابة ممكنة:‏ ألي متجهين غير صفريين
〉 d 〈c, b〉 ، 〈a, يكون الضرب الداخلي
لهما يساوي مجموع حاصل ضرب
االحداثيين x واإلحداثيين y أو
. ac + bd
الدرص - 3 3 ال الال 105
y
10N
10N
61°
17° x
19°
10N
الدرص - 3 3 ال الال 105