المعلم رياضيات الصف 12

3 التدر
دون استعمال الآلة الحاسبة،‏ أوجد القيمة الدقيقة لكل ٍّ من
الدرص - 4 1 المتطابقات المثلثية لع الاوة وا 29
الدرص - 4 1 المتطابقات المثلثية لع الاوة وا 29
1-3 االمثلة إذا كان:‏ ، sin 2θ , cos 2θ , sin θ_
, cos
θ_
2
2
sin θ = 1_ ; 0° < θ < 90°
4
sin θ = 4_ ; 90° < θ < 180°
5
cos θ = 3_ ; 270° < θ < 360°
5
tan θ = - 8_ ; 90° < θ < 180°
15
; 90° < θ < 180°
sin θ = 2_
3
sin θ = - 15_
__ 2 = d . حيث g تسارع
v 2 sin θ cos θ
17 ; π < θ < 3π_
2
tan θ = -2 ; π_
2 < θ < π
أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:‏
√ ÇÇÇÇ 7 + 4 √ Ç 3 tan 5π_
12
رة د ركل العب كرة قدم
كرة بزاوية قياسها 37° مع سطح
األرض،‏ وبسرعة ابتدائية متجهة
مقدارها 52. ft/s إذا كانت
المسافة األفقية d التي تقطعها
g
الكرة ت ُعطى بالصيغة
الجاذبية األرضية ويساوي ، 32 ft/s 2 و َ v ت ُمثّل السرعة االبتدائية
المتجهة . مثا 4
a) بسّ‏ ط الصيغة مستعمالً‏ المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية.‏
b) ما المسافة األفقية d التي تقطعها الكرة باستعمال الصيغة
المبسّ‏ طة؟
أثبت صحة كل ٍّ من المتطابقات الآتية:‏ مثا 5
14-15( انظر الهامش.‏
دد ما ترتبط زاوية رأس المخروط الذي تشكِّ‏ له األمواج
الصوتية الناتجة عن اختراق الطائرة لحاجز الصوت بعدد ماخ M
. sin θ_
2 = 1_
M
‏(نسبة إلى عالم الفيزياء النمساوي ماخ)‏ وفق العالقة
θ
_ 1_ =
√ ÇÇÇÇ 1 - cos θ
2
a) عبِّر عن قيمة العدد M بداللة دالة جيب التمام.‏
a فاستعمل العبارة التي أوجدتها في ، cos θ = _ 17
18
6
b) إذا كان
لحساب قيمة عدد ماخ.‏
اإلترويات يمر تيار متردد في دائرة كهربائية.‏ إذا كانت شدة التيار
الكهربائي I باألمبير عند الزمن t ثانية هي ، I 0 sin tθ فإن القدرة P
المرتبطة بالمقاومة R ت ُعطى بالصيغة:‏ . P = I 2 0 R sin 2 tθ عبّر عن
P = 1_
2 I 0 2 R - 1_
رة د ركل حسن كرة قدم عدة مرات بسرعة متجهة ابتدائية
مقدارها . 95 ft/s برهن أن المسافة األفقية التي قطعتها الكرة
متساوية لكل من الزاويتين . θ = 45° + A , θ = 45° - A
استعمل الصيغة المعطاة في التمرين . 13
أوجد القيم الدقيقة لكل ٍّ من ، sin 2θ , cos 2θ , tan 2θ إذا كان:‏
24_ 7_ _
25 , 25 , 24
7 cos θ = 4_ ; 0° < θ < 90° ) 21
5
_ 4 √ Ç 2 7_ _ sin θ = 1_
3 ; 0 < θ < π_
9 , 9 , 4 √ Ç 2
)22
7
2
tan θ = -3; 90° < θ < 180° )23
4
sec θ = - 4_ ; 90° < θ < 180°
8 , -3 √ Ç 7 3 ) 24
12_ 5_ 12_ cot θ = 3_ ; 180° < θ < 270°
2
13 , 13 , )25
5
)26
ميت متعددة ستستكشف في هذه المسألة كيفية إيجاد
متطابقة مثلثية اعتمادًا على التمثيل البياني للدوال المثلثية.‏
انظر ملحق الإجابات.‏
a) بيايا استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة
f (θ) = 4 (sin θ cos π_ - cos θ sin بياني ّ ًا في الفترة
π_
4 4 )
. -2π ≤ θ ≤ 2π
حليليا b) اعتمد على التمثيل البياني في (a) لتخمين دالة بداللة
الجيب تطابق f(θ) . ثم أثبت صحتها جبري ّ ًا.‏
c) بيايا استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة
π_ g(θ) = co s 2 (θ - بياني ّ ًا في الفترة
3 ) - si n 2 (θ - π_
3 )
. -2π ≤ θ ≤ 2π
M )a
)18
1-7( انظر الهامش.‏
حليليا d) اعتمد على التمثيل البياني في (c) لتخمين دالة بداللة
جيب التمام تطابق g(θ) . ثم أثبت صحتها جبري ّ ًا.‏
)19
القدرة بداللة . cos 2tθ
2 I 0 2 R cos 2tθ
)20
_
d = v 2 sin 2θ
g
16-17( انظر ملح ق الإجابات.‏
انظر ملحق الإجابات.‏
3_ 4_ -
5 , - 5
_
3_ , -3 √ 7 Ç 1_ ,
8
_
1 _ - cos 2θ
sin 2θ
)1
)2
)3
)4
)5
)6
)7
√ ÇÇÇÇ 2 - √ Ç 2 sin π_ )8
8
2
_ √ ÇÇÇÇ 2 + √ Ç 3
cos 15° )9
2
_ √ ÇÇÇÇ 2 + √ Ç 3 sin 75° )10
2
- √ ÇÇÇÇ 7 - 4 √ 3 Ç tan 165° )11
81 ft تقريب ًا
نو الواجبات المنلية
المصتو
دون المتوسط
ال‏صلة
29-34 ،27 ،25 ،22 ،20 ،1-17
1–17 ‏(فردي)،‏ 18-26 ‏(زوجي)،‏ 29-34 ،27
18-34
ضمن المتوسط
فوق المتوسط
التو التون
استعمل األسئلة من 17–1 للتأكد من فهم
الطالب.‏
ثم استعمل الجدول أسفل هذه الصفحة؛
لتعيين الواجبات المنزلية للطالب بحسب
مستوياتهم.‏
ميت متعددة يستعمل الطالب في
السؤال 26 التمثيل البياني إليجاد متطابقات
مثلثية وذلك باستعمال الحاسبة البيانية.‏
اإجابات
_ √ Ç 15
8 , 7_
8 , __
√ ÇÇÇÇ 8 - 2 √ Ç 15
,__
√ ÇÇÇÇ 8 + 2 √ Ç 15 )1
4
4
_-24
25 , _-7
25 , _ 2 √ Ç 5
5
_ )2
, √ Ç 5
5
_-24
25 , _-7
25 , _ √ Ç 5
5 , __ -2 √ Ç 5
5
_-240
289 , _ 161
289 , _ 4 √ Ç 17
17
, √ Ç 17
17
)3
_ )4
_-4 √ Ç 5
, _ 1
9 9 , ___
√ 6 Ç √ ÇÇÇ 3 + √ Ç 5
, )5
6
√ Ç 6 √ ÇÇÇ 3 - √ Ç 5
6
___
_ 240
289 , - _ 161
289 , _ 5 √ Ç 34 , -_
3 √ Ç 34 )6
34 34
_-4
5 , _ -3
5 √ , ÇÇÇ _ √ Ç 5 + 1
, )7
2 √ Ç 5
√ ÇÇÇ _ √ Ç 5 - 1
2 √ Ç 5
tan θ ≟
__ 1 - cos 2θ
sin2θ
≟ ___
1 - )1 - 2 sin2 θ)
2 sin θ cos θ
2 sin
≟ __
2 θ
2 sin θ cos θ
≟ _ sin θ
cos θ
= tan θ ✓
)14
)15
tan _ θ 2 ≟ __ sin θ
1 + cos θ
tan _ θ sin 2( θ_
tan θ 2sin
_
θ_ cos
θ_
2 ≟ ___ 2 )
2 ≟ __ 2 2
2 cos 2 θ_
2
1 + cos 2 ( θ_
2 )
tan θ sin
_
tan _ θ 2sin θ_
2 ≟ _
θ_
2
cos
cos
θ_
θ_
2
2 ≟ ___ 2 2
1+2 cos 2 θ_
2 -1 tan _ θ 2 ≟ tan _ θ 2 ✓
)12
)13
tan θ = )14
tan θ_
2 = _ sin θ
)15
1 + cos θ
2
tan 2θ = __ )16
cot θ - tan θ
sin θ_ cos
θ_
2 2 = _ sin θ )17
2