المعلم رياضيات الصف 12

تسمى الصورة a i + b j تواف ق ًا خطي ّ ًا للمتجهين . i , j ويُقصد بها كتابة المتجه بداللة متجهَ‏ ي الوحدة i , j
إذا كانت نقطة بداية المتجه DE ÆÆÆ هي (3 2-)D , ، ونقطة نهايته (5 4)E , ، فاكتب DE ÆÆÆ على صورة توافق ٍ خط ٍّي
لمتجه َ ي الوحدة . i , j
ال الإا
( x 1 , y 1 ) = (-2 , 3) , ( x 2 , y 2 ) = (4 , 5)
أوالً‏ ، أوجد الصورة اإلحداثية ل ِ ​ÆÆÆ​​ . ​​ DE ​
ب
DE ÆÆÆ​= 〈​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 〉
= 〈4 - (-2), 5 - 3〉
= 〈6, 2〉​
ثم أعد كتابة المتجه على صورة توافقٍ‏ خطي ٍّ لمتجهَ‏ ي الوحدة.‏
ال الإا
〈a, b〉 = ai + bj
DE ÆÆÆ​= 〈6, 2〉
= 6 i + 2 j
تحقق من فهمك
اب م ل ‏‏ورة توافق لمه الوحدة
اكتب المتجه DE ÆÆÆ الم ُ عطى نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق ٍ خطي ٍّ لمتجه َ ي الوحدة i , j في كل ٍّ مم َّ ا يأتي :
مال اإافا
إذا كانت نقطة بداية المتجه DE هي
، E(2, ونقطة نهايته(‏‎6‎ ،D(-3, -3)
فاكتب DE
لمتجي الوحدة 5i + 9j . j ، i
ÈÈ​ على صورة توافق خطي
أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v
الذي طوله ، 7 وزاوية اتجاهه 60° مع
األفقي.‏
v = 7_ ​ _ 3 ​
2 , 7 √​Ç​
2
5
6
5
10i + 9j D(-3, -8), E(7, 1) (5B 8i + 5j D(-6, 0), E(2, 5) (5A
y (a, b)
v | v |sin θ
θ
O | v |cos θ
x
ال 3.2.5
ويمكن كتابة المتجه 〈b ، v = ,a〉 باستعمال زاوية االتجاه التي يصنعها v مع االتجاه
الموجب لمحور . x فمن الشكل 3.2.5 يمكن كتابة v على الصورة اإلحداثية،‏ أو على
صورة توافقٍ‏ خطي ٍّ لمتجهَ‏ ي الوحدة ,i j كما يأتي:‏
ال الإا
i, j م اق
v = 〈a, b〉
= 〈|v| cos θ, |v| sin θ〉
= |v| (cos θ) i + |v| (sin θ) j
أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v الذي طوله ، 10 وزاوية اتجاهه 120° مع الأفقي.‏
ال الإا للمتج v بلل |v| , θ
cos 120° = - 1_
2
اإا الورة الإحدا
|v| = 10 , θ = 120°
_
√ Ç
, sin 120° = 3
2
ب
v = 〈|v| cos θ, |v| sin θ〉
= 〈10 cos 120°, 10 sin 120°〉
=​ 10 (-​ 1_ _ 3
2
)
=​〈-5, 5 √​Ç​ 3 〉
2) , 10 ( √​Ç​
6
م الوحدة
ال م تت
v = 〈|v| cos θ, |v| sin θ〉
ا متج ال ال ل
ال ا v اجا
u = 〈1 cos θ, 1 sin θ〉
= 〈cos θ, sin θ〉
(-5, 8.7)
v
O
y
120°
x
الدرص - 2 3 المتجهات المت الإا 95
الحقق مث ِّل بياني ّ ًا:〈‏‎8.7‎ 〈-5, ≈ 〉 3 ، v = 〈-5, 5 √​Ç​ تجد أن قياس الزاوية
التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور x هي 120° كما في الشكل
المجاور،‏
|v| = √​ ÇÇÇÇÇÇ (-5) 2 + ​(5 √​Ç​ 3 ) 2 ​=​10 ✔
تحقق من فهمك
أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v الم ُ عطى طوله وزاوية اتجاهه مع الأفقي في كل ٍّ مم َّ ا يأتي :
〈-12 √ Ç 3 , -12〉 |v| = 24, θ = 210° (6B 〈4 √ 2 Ç , 4 √ Ç 2 〉 |v| = 8, θ = 45° (6A
الدرص - 2 3 المتجهات المت الإا 95