المعلم رياضيات الصف 12

( 35 تسمي‏:‏ يعمل سالم في وكالة لإلعلانات.‏ ويرغب في تصميم
لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبيّن أدناه.‏ ويستطيع
تعيين رؤوس أحد هذه األشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة
= 0 1 x 6 - في المستو المركب.‏ أوجد رؤوس أحد هذه
األشكال السداسية.‏
( 36 هربا‏:‏ تُعطَى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على
التوالي بالعبارة 5(cos 0.9 + j sin 0.9)Ω ، وتُعطَى في الجزء
الدرص - 3 4 الأعداد المركبة ورة دموار 151
الآخر من الدائرة بالعبارة 8(cos 0.4 + j sin 0.4)Ω .
(a-c انظر الهامش.‏
a) حَ‏ وِّ‏ ل كلا ّ ً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.‏
b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ إليجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.‏
c) حَ‏ وِّ‏ ل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.‏
( 37 اما‏:‏ إذا كانت ، f (z) = z 2 وكانت . z 0 = 0.8 + 0.5 i
، z 1 = f( z 0 ) حيث ، z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , احسب z 6 (a
) 1 ، z 2 = f( z وهكذا.‏
b) مَثِّل كل عدد في المستو المركب.‏
z 100 في المستو المركب،‏ ووضِّ‏ ح إجابتك.‏
c) تنبأ بموقع
( 38 أوجد العدد المركب z إذا علمت أن (i-1-) هو أحد جذوره
الرباعية،‏ ثم أوجد جذوره الرباعية األخر‏.‏
ح ُ ل ّ كال ّ ً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:‏
41–39) انظر الهامش.‏
( 42 اتس الا‏:‏ يَحسبُ‏ كل من أحمد وباسم قيمة
_ 3
2 + 1_
. cos _5π + i sin ويقول باسمُ‏ بأن أحمدَ‏ قد أنجز جزءًا
5π_
اإلجابة 6 6
√ Ç -) . فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على
2 i) 5
من المسألة فقط.‏ أيهما إجابته صحيحة؟ بَرِّ‏ ر إجابتك.‏
تحد : أوجد الجذور المحد ّ دة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة
القطبية،‏ ثم عي ِّن العدد المركب الذي له هذه الجذور.‏
5π
6
3π
4
5π
4
3π
2
O
O
i
i
π
4
7π
4
π
6
R
R
( 43
( 44
( 45 برا‏:‏ إذا كان ) 1 ، z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ
) 2 ، z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ حيث ≠ 0 2 ، r فأثبت أن
._
z 1
z = _
r 1
2 r [cos ( θ 2
1 - θ 2 ) + i sin ( θ 1 - θ 2 )]
انظر الهامش.‏
انظر الهامش.‏
,43) 44 انظر ملحق الإجابات.‏
( 46 تحد : اكتب cos 3θ بداللة cos θ مستعملاً‏ نظرية ديموافر.‏
إرشاد:‏ أوجد قيمة (θ 3 (cos θ + i sin مرة باستعمال نظرية ديموافر،‏ ومرة
باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.‏
( 47 ات‏:‏ وضِّ‏ ح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب
θ) ، z = r(cos θ + i sin حيث n عدد صحيح موجب.‏
انظر ملحق
الإجابات.‏
انظر الهامش.‏
انظر ملحق
الإجابات.‏
تبي
اتس الا
عند حل السؤال ، 42 ذكِّر الطلاب بأن
عليهم البدء بكتابة العدد المركب
انظر الهامش
68–67) انظر ملحق
الإجابات
√ Ç 3 (- على الصورة
_
2 + 1_
2 i )
القطبية،‏ ثم إكمال الحل
اإجابات:‏
1, 1_
2 + _ √ Ç 3 i, -
1_
2 2 + _ √ Ç 3 i, -1, (35
2
- 1_
2 - _ √ Ç 3 i,
1_
2 2 - _ √ Ç 3
2 i
3.11+3.92 j, 7.37+3.12 j (36a
(10.48+7.04 j )Ω (36b
≈12.63(cos 0.59 + j sin 0.59)Ω (36c
38) إجابة ممكنة:‏ أوجد الصورة القطبية
، √ Ç 2 (cos 5π_ + i
5π_
sin
4
⎡
⎢
⎣ √ 2 Ç (cos 5π_ + i sin
5π_
4 4 ) ⎥
⎤ ⎦
للجذر i( - 1 )-
4
فستكون )
4
ثم أوجد
تحصل على العدد المركب ، z ثم أوجد
جذوره األخر‏،‏ وتكون اإلجابة النهائية
هي:‏
-4 ; 1 + i , -1 + i , -1 - i , 1 - i
_ √ Ç 3
2 + 1_
2 i , - _ √ 3 Ç
2 + 1_ i, -i (39
2
2.77 + 1.15i , -1.15 + 2.77i, (40
≈-2.77 - 1.15i, 1.15 - 2.77i
0.79 + 0.79i, - 1.08 + 0.29i, (41
0.29 - 1.08i
42) باسم؛ إجابة ممكنة؛ لقد قام أحمد
بتحويل العدد المركب إلى الصورة
القطبية فقط؛ لذا عليه استعمال نظرية
ديموافر لحساب القوة الخامسة.‏
cos 3 θ = 4 cos 3 θ - 3 cos θ
x 3 = i ( 39
x 4 = 81i ( 40
x 3 + 1 = i ( 41
الدرص - 3 4 الأعداد المركبة ورة دموار 151