المعلم رياضيات الصف 12

16
y
16
y
12
8
4
O
1 2 3 4
x
الص )1(
المساحة باستعمال األطراف اليمنى
12
8
4
O
1 2 3 4
الص )2(
المساحة باستعمال األطراف اليسرى
R 1 = 1 · f (0) = 0
R 2 = 1 · f (1) = 1
R 3 = 1 · f (2) = 4
R 4 = 1 · f (3) = 9
المساحة الكلية 14 وحدة مربعة
x
R 1 = 1 · f (1) = 1
R 2 = 1 · f (2) = 4
R 3 = 1 · f (3) = 9
R 4 = 1 · f (4) = 16
المساحة الكلية 30 وحدة مربعة
أي أن المساحة الناتجة عن استعمال األطراف اليمنى هي 30 وحدة مربعة،‏ بينما المساحة الناتجة عن استعمال
األطراف اليسرى هي 14 وحدة مربعة،‏ وهذان تقديران تقع المساحة بينهما،‏ وبحساب الوسط للقيمتين نحصل
على تقريب أفضل للمساحة،‏ وهو 22 وحدة مربعة.‏
تحقق من فهمك
12_ = (x) f والمحور x في الفترة 5] [1, باستعمال مستطيالت
2) قرِّ‏ ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى x
عرض كل واحد منها وحدة واحدة . استعمل األطراف اليمنى ثم اليسرى لقواعد المستطيالت لتحديد
ارتفاعاتها،‏ ثم احسب الوسط للتقريبين.‏
عند تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور ، x فإنه يمكننا استعمال أي نقطة على قاعدة المستطيل
لتحديد ارتفاعه،‏ إال أن النقاط األكثر شيوعًا هي نقطتا الطرفين األيمن واأليسر،‏ ونقطة المنتصف.‏
التام الحظت في مثال 1 أنه كلما قل عرض المستطيالت،‏ فإن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت
المنحنى،‏ ومن ذلك نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيالت عندما يقترب عرض كل
مستطيل من الصفر.‏
في الشكل المجاور،‏ قُسِّ‏ مت الفترة من a إلى b إلى n من الفترات الجزئية
المتساوية الطول،‏ وتُسمَّى هذه التجزئة التجزيء الم نتظم.‏ إن طول الفترة الكلية
من a إلى b هو ، b​-​a وبذلك يكون طول كل فترة جزئية ‏(عرض كل مستطيل
من المستطيالت التي عددها n) هو ، b​-​a ويُرمز له بالرمز ​x∆. وبما أن
ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف األيمن لقاعدة المستطيل،‏ فإن
y
f(x 1
)
. ..
....
O a x 1 x 2 x . . . b=x
3
x n n - 1
x
∆x
_ ​
n
ارتفاع المستطيل األول هو ) 1 ، f ( x وارتفاع المستطيل الثاني هو ) 2 ، f ( x وهكذا
يكون ارتفاع المستطيل األخير ) n . f ( x
المساحة الناتجة عن استعمال
الأطراف اليمنى هي ‎15.4‎وحدة مربعة،‏
الأطراف اليسر = 25 وحدة مربعة،‏
الوسط = 20.2 وحدة مربعة
يمكن الآن حساب مساحة كل مستطيل من خالل ضرب x∆ في ارتفاع ذلك المستطيل،‏ أي أن مساحة المستطيل
األول هي ، f ( x 1 ) ∆x ومساحة المستطيل الثاني هي ، f ( x 2 ) ∆x وهكذا.‏ وتُعطى المساحة الكلية A للمستطيالت
بمجموع مساحاتها،‏ ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع.‏
رم المجموع
n
تُقرأ العبارة ​f ( x i ) ∆x
i =1
كالآتي مجموع حواصل
ضرب ) i f ( x في ∆ x من
.i =​n إلى i =​1
للمعل الجديد
رم التام نبِّه الطالب إلى أن رمز
التكامل هو شد للحرف S في كلمة .sum
f( x)
تنوي التعلي
اج الشاات
ا الام الشت ∆ x
اشت م ال
ال م ا
A = f ( x 1 )∆x + f ( x 2 )∆x + ⋯ + f ( x n )∆x
A = ∆x[ f( x 1 ) + f( x 2 ) + ⋯ + f ( x n )]
n
A = ∆x ​f ( x i )
n
i =1
A = ​f ( x i ) ∆x
i =1
198 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق
ELL SN
المتعلمو الحريو اطلب إلى الطالب أن يرسموا منحنى دالة في أحد األمثلة على ورق مربعات كبير،‏ ثم
اطلب إليهم أن يقص ُّ وا المساحة المطلوبة،‏ وأن يحدّ‏ دوا عدد الوحدات المربعة التي تحويها هذه المنطقة.‏ والذي
قد يتطلب تجميع أجزاء مختلفة من المساحات،‏ ثم اطلب إليهم أن يقارنوا بين المساحة باستعمال التكامل
وعدد الوحدات المربعة التي أوجدوها.‏
198 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق