المعلم رياضيات الصف 12

6
y
O 3
في المثال ، 1 الحظ أن (1 + 3x-) lim هي نفسها (2)f ، إال أن نهاية الدالة ال تساوي دائمًا قيمة الدالة.‏
x→2
f(x) = x2 - 9
x- 3
الدرص - 1 5 يق النهايات باا 161
lim باستعمال التمثيل البياني،‏ ثم عز ِّ ز إجابتك عددي ّ ًا.‏
_
__
2
_
x 2 - 9
x→3
قد ِّ ر - 3 x
التحلي بيانيا
مجال الدالة {3}-R
x 2 - 9 (x - 3)(x + 3)
بما أن + 3 x = =
x - 3 x - 3
لذا فالتمثيل البياني للدالة f(x) هو نفسه التمثيل البياني للمستقيم + 3 x y = مع
وجود دائرة صغيرة غير مظللة (◦) عند = 3 x
f(x) = _ x 2 - 9 المجاور،‏ أنه كلما اقتربت x من
x - 3
يُبيِّن التمثيل البياني للدالة
العدد ، 3 فإن قيمة (x) f المقابلة لها تقترب من العدد 6 ؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن:‏
lim _ x 2 - 9
x→3 x - 3 = 6
التعي ايد
كوّ‏ ن جدوالً‏ لقيم f(x) ، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 3 من كال الجهتين.‏
3 م قت x 3 م قت x
x 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1
f(x) 5.9 5.99 5.999 6.001 6.01 6.1
يُبيّن نمط قيم (x) ، f أنه كلما اقتربت قيم x من العدد ، 3 فإن قيم (x) f تقترب من العدد ، 6 وذلك يعزِّ‏ ز تحليلنا
البياني.‏
تحقق من فهمك
قد ِّ ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني،‏ ثم عز ِّ ز إجابتك عددي ّ ًا.‏
lim _
x 2 - 4x - 5
x + 2
6 (2B -0.25 lim _
x→5 x - 5
x→-2 x 2 - 4 (2A
في المثال ، 2 الحظ أن قيم f(x) تقترب من العدد 6 عند اقتراب قيم x من العدد 3، على الرغم من أن ≠ 6 (3) f .
x 2 - 9 غير معرّ‏ فة عندما = 3 x. وهذه المالحظة توضِّ‏ ح مفهومًا مهم ّ ًا في النهايات.‏
_
فالعبارة - 3 x
التعير اللفي ال ت هاي نما f (x) قت x م ال ل c الال ن c
L
O
x
y
y = h(x)
c
x
n
L
O
y
c
y = g(x)
x
L
O
y
y = f(x)
lim h(x) = L lim g(x) = L lim f(x) = L
x→c x→c x→c
h(c) = L g(c) = n م f(c)
c
x
المثلة
تقدير النهاية ‏)النهاية ل تصا يمة الدالة(‏
2A) , 2B للجدول والتمثيل البياني
إن النهاية عند عدد ال تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد،‏ وإنما قيمة الدالة عندما تقترب x من ذلك العدد.‏
جدال
الإشا جو باشتا
الحاش الا
الال ا TI - nspire
اإل الحاش باشتا ا
انظر ملحق الإجابات.‏
د اتما النهاية ل يمة الدالة ند نقة
تقدير النهايات ند ي محدة
المثلة 5–1 تُبيّنُ‏ كيفية استعمال التمثيل
البياني في تقدير نهايات أنواع مختلفة من
الدوال.‏
التقوي التويني
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ بعد
كل مثال؛ للتحقق من مدى فهم الطالب
للمفاهيم.‏
مثال اإصافيا
lim باستعمال
x→-1
قدّ‏ ر 1) + x (4
التَّمثيل البياني،‏ ثم عزِّز إجابتك
باستعمال جدول قيم.‏ 3- ؛ للتَّمثيل
البياني انظر الهامش.‏
x f (x )
-1.01 -3.04
-1.001 -3.004
-1
-0.999 -2.996
-0.99 -2.96
_
x 2 - 16
x→4 x - 4
قدّ‏ ر lim باستعمال التَّمثيل
البياني،‏ ثم عزّ‏ ز إجابتك باستعمال
جدول قيم.‏ 8 ؛ للتَّمثيل البياني انظر
الهامش.‏
x f (x )
3.99 7.99
3.999 7.999
4
4.001 8.001
4.01 8.01
1
2
الو اتا
بالش ل ات
م لتا x
مح
اإجابات ‏)مثال اإصافيا)
8
y
(2
4
y
(1
4
2
−8
−4
O
−4
−8
4 8 x
−4
−2 O
−2
−4
2 4 x
الدرص - 1 5 يق النهايات باا 161