Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht
Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht
Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht
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Bruchoperatoren sind Funktionen, die jeder natürlichen Zahl (und später jedem<br />
Bruch) einen Bruch zuordnen. Wie oben in 6. 2 dargestellt, kann man sich <strong>den</strong><br />
Operator als eine Maschine darstellen, die Eingabewerte bearbeitet und die<br />
bearbeiteten Werte ausgibt.<br />
Multiplikationsoperatoren wer<strong>den</strong> im Bereich der natürlichen Zahlen mit<br />
Divisionsoperatoren verkettet und umgekehrt. Es wird festgestellt, dass nicht<br />
jede Verkettung durch einen einzelnen Multiplikationsoperator oder<br />
Divisionsoperator ersetzt wer<strong>den</strong> kann.<br />
Jede Verkettung eines Multiplikationsoperators mit einem Divisionsoperator hat<br />
als Ersatzoperator einen Bruchoperator. Bruchoperatoren ersetzen also die<br />
gemischte Operatorkette.<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
m<br />
bei<strong>den</strong> Operatoren<br />
Die Verkettung<br />
ist die Verkettung, beziehungsweise die Hintereinanderausführung der<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n und ⎯⎯→<br />
m<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n und ⎯⎯→<br />
m<br />
: .<br />
:<br />
kann verstan<strong>den</strong> wer<strong>den</strong> als „nimm n<br />
mal <strong>den</strong> Eingabewert und teile das Produkt durch m“. Da die Operatoren<br />
vertauschbar sind, kann die Verkettung<br />
⎯⎯→<br />
: m<br />
und ⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
m Teile und nimm n von diesen Teilen“ verstan<strong>den</strong> wer<strong>den</strong>.<br />
auch als „teile in<br />
Die Schüler lernen übrigens schon bei der Verkettung der kommutativen<br />
Operatoren, dass der Rechenweg nicht immer gleich schwierig ist, dass man<br />
also die Kommutativität zur Erleichterung der Rechnung nutzen kann.<br />
Übrigens sind durch obige Definition alle natürlichen Zahlen auch Brüche, <strong>den</strong>n<br />
die Verkettung von<br />
⎯⎯→<br />
⋅ 5<br />
⎯⎯→<br />
⋅ 10 und ⎯⎯→<br />
2<br />
: kann einerseits durch <strong>den</strong> Operator<br />
ersetzt wer<strong>den</strong>. Da jeder Ersatzoperator einer Verkettung eines<br />
Multiplikationsoperators mit einem Divisionsoperator ein Bruchoperator ist, ist<br />
auch<br />
⎯⎯→<br />
⋅ 5<br />
ein Bruchoperator.<br />
Andererseits kann die Verkettung von<br />
Bruchoperator<br />
⎯ ⋅ 10<br />
2<br />
⎯→<br />
⎯⎯→<br />
⋅ 10 und ⎯⎯→<br />
2<br />
: durch <strong>den</strong><br />
ersetzt wer<strong>den</strong>. So lässt sich die Einsicht gewinnen,<br />
dass es sich immer dann um zwei Darstellungen des gleichen Bruchs handelt,<br />
wenn die zugehörigen Operatoren dasselbe bewirken.<br />
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