Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht
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2. Wie kann man Brüche darstellen?<br />
Brüche wer<strong>den</strong> als Operatoren in der Form<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
m<br />
geschrieben.<br />
Jeder Bruchoperator kann die Verkettung von einem Multiplikationsoperator mit<br />
einem Divisionsoperator ersetzen.<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
m<br />
ist zum Beispiel die Verkettung von<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n und ⎯⎯→<br />
m<br />
: . Wenn<br />
man in diese Operatorkette einen weiteren Operator mit seinem<br />
Umkehroperator einfügt, zum Beispiel<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
⎯⎯→<br />
⋅ 2<br />
⎯⎯→<br />
: 2 ⎯⎯→<br />
m<br />
: ,<br />
dann erhält man eine Operatorkette, die genau das Gleiche bewirkt, also <strong>für</strong><br />
je<strong>den</strong> Eingabewert <strong>den</strong> gleichen Ausgabewert liefert wie die Operatorkette<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
⎯⎯→<br />
: m<br />
. Zwei Operatoren sind gleich, wenn sie <strong>für</strong> je<strong>den</strong><br />
Eingabewert <strong>den</strong>selben Ausgabewert liefern. Wenn man sich die<br />
Ersatzoperatoren dieser Ketten ansieht, dann sieht man, dass die zu <strong>den</strong><br />
Bruchoperatoren gehörigen Brüche gleich sind, <strong>den</strong>n die Ersatzoperatoren sind<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
m<br />
und<br />
⎯ ⋅ 2n<br />
2m<br />
⎯ →<br />
.<br />
<strong>Das</strong> Kürzen und Erweitern der Darstellung lässt sich so gut erklären.<br />
<strong>Das</strong>s man auf diese Weise unendlich viele Darstellungen <strong>für</strong> je<strong>den</strong><br />
Bruchoperator fin<strong>den</strong> kann, ist trivial. Ebenso kann man, falls m und n einen<br />
gemeinsamen Teiler k besitzen, das Kürzen erklären. Die Operatorkette<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
⎯⎯→<br />
m<br />
: ersetzen wir dann durch ⎯⎯→<br />
⋅ k<br />
n<br />
m :<br />
⎯⎯→<br />
k , beziehungsweise<br />
<strong>den</strong> Ersatzoperator<br />
⎯⎯→<br />
⋅ n<br />
m<br />
durch<br />
⎛ n ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ k<br />
⋅<br />
⎠<br />
⎛ m<br />
⎟ ⎞<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎝ k<br />
⎯⎯ → .<br />
<strong>Das</strong> Kürzen und Erweitern lässt sich also gut verdeutlichen. Zwei Operatoren<br />
sind gleich, wenn sie <strong>für</strong> je<strong>den</strong> Eingabewert <strong>den</strong> gleichen Wert ausgeben. Es ist<br />
klar, dass sich an der Ausgabe nichts ändert, wenn wir k mal so viele Teile<br />
machen, aber auch k mal so viele Teile nehmen. Dann sind natürlich auch die<br />
dazu gehörigen Brüche gleich.<br />
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