Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

geschrieben zu werden brauchen. Der Mathematiker würde sagen, man muß
erst ausdrücklich definieren, wann zwei der neu eingeführten Zahlen gleich
sind.“
Auch in vielen Texten zur Didaktik der Bruchrechnung und in Schulbüchern (vgl.
Padberg, vgl. Schnittpunkt 6) erscheint die Bemerkung, dass nach Einführung
der Bruchzahlen plötzlich jede Zahl auf unendlich viele verschiedene Weisen
geschrieben werden kann.
Wenn der Bruchstrich, wie im später ausführlich beschriebenen pragmatischen
Konzept, die gleiche Bedeutung hat wie „geteilt durch“, dann ist ist sofort klar,
4 2
dass und zwei Schreibweisen derselben Zahl sind, denn dass 4 : 2
2 1
dieselbe Zahl ist wie 2 : 1, wird schon in der Grundschule unterrichtet und per
Permanenzprinzip wird verallgemeinert, wann zwei Brüche gleich sind.
Überhaupt sollte die Erkenntnis, dass nicht nur jeder Bruch, sondern jede Zahl
viele Namen hat, in der Grundschule vorbereitet werden. Teilweise findet man
dies auch in den Schulbüchern für die erste Klasse.
Nach Einführung der Subtraktion kann den Grundschülerinnen und -schülern
schon deutlich gemacht werden, dass es für jede Zahl sogar unendlich viele
Schreibweisen gibt. Dieses ist leicht einzusehen. Hat man nämlich einmal zum
Beispiel die Zahl 6 als Differenz a - b dargestellt, dann ist für jede natürliche
Zahl n auch (a + n) - (b + n) = 6. Hierfür lassen sich problemlos Beispiele auf
der enaktiven Ebene finden, zum Beispiel wenn zuerst 5 Streichhölzer gegeben
sind, von denen 3 entfernt werden. Anschließend sind es 6, von denen 4
entfernt werden etc.
Ein Grundschulkind, das 3 von 8 Bonbons an seinen Tischnachbarn weggibt,
kann leicht einsehen, dass es für die übrig bleibende Anzahl der Bonbons
nichts ändert, wenn es zu Beginn nicht 8 Bonbons, sondern 2 Bonbons mehr
gehabt hätte und davon nicht 3, sondern 5 abgegeben hätte. Natürlich findet
man derartiges auch in Schulbüchern für die Primarstufe und es lohnt sich,
dieses intensiv zu bearbeiten.
Die Invarianz der Subtraktion ∀a , b,
n ∈
0:
a − b = ( a + n)
− ( b + n)
ist nämlich ein
Analogon zum Erweitern und Kürzen von Brüchen. Wenn das Verständnis für
diese Invarianz frühzeitig gewonnen wird, dann ist der Weg zum Verständnis
der Brüche erleichtert. Ebenso wie man jede natürliche Zahl auf unendliche
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