Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Weiter gilt
a c a c
Satz 12: ⋅ = 0 ⇔ = 0 ∨ = 0
b d b d
Beweis: „ ⇐“ klar
„⇒ “ Seien
a c , ∈
≥ 0
b d
mit a c
ac
⋅ = 0 gegeben, dann gilt = 0 , also
b d bd
ac = 0. Somit muss auch a = 0 oder c = 0 gelten.
a c
Dann ist aber insbesondere = 0 ∨ = 0 .
b d
Satz 13: · ist distributiv über +
Der Beweis erfolgt leicht über die Distributivität der Multiplikation über der
Addition in
0 .
Satz 14: Für alle
a c , ∈
0
b d
gilt a c a a + c c
< ⇒ < <
≥
b d b b + d d
a c
Beweis: Seien , ∈
0
b d
mit a c < gegeben, dann gilt ad < bc.
≥
b d
ad < bc ⇒ ab + ad < ab + bc ∧ ad + cd < bc + cd
⇒ a(b + d) < b(a + c) ∧ (a + c)b < (b + d)c ⇒
a
b
a + c c
< < .
b + d d
Abschließend lässt sich festhalten dass der Gewinn dieser
Zahlbereichserweiterung darin liegt, dass in
≥ 0
jede Gleichung der Form
a x c a c
⋅ = für , ∈
≥ 0
b y d b d
mit a ≠ 0 eindeutig lösbar ist.
Um die Körperaxiome zu erfüllen, fehlt nur noch die Invertierbarkeit bezüglich
der Addition.
Geht man vom Ring ( , +, ·) aus statt vom Halbring (
0
, +, ⋅) lässt sich auf die
beschriebene Weise sofort der Körper (
, +, ·) konstruieren.
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