Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

12 12
a) :
2 6
18 6
b) :
3 3
180 10
c) :
30 5
In jedem der drei Beispiele a), b) und c) ist 6 : 2 in Bruchdarstellung
geschrieben. Im Fall a) ist nicht klar erkennbar, wieso dies 3 ist. Im Fall b) liefert
eine komponentenweise Division von Zähler und Nenner
18 : 6
3 : 3
3
= = 3. Ebenso
1
liefert die komponentenweise Division von Zähler und Nenner im Fall c)
180 :10 18
= = 3. Wie sollten wir die Vermutung der komponentenweisen
30 : 5 6
Division als richtige Strategie mit a) vereinbaren? Dort liefert die
komponentenweise Division von Zähler und Nenner
12 :12
2 : 6
=
1
1: 3
1
= . Was
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
sollte das sein? Ein solches Objekt hatten wir noch nicht gesehen. Ist dies
überhaupt ein Bruch? Ein Bruch sollte doch nach unserer Definition ein
Quotient zweier natürlicher Zahlen sein.
Da die Division die Umkehroperation der Multiplikation ist und die Multiplikation
komponentenweise stattfindet, war es naheliegend, dass auch
komponentenweise dividiert werden kann. Wie wir an obigem Beispiel sahen,
können die gegebenen Darstellungen dazu führen, dass man bei
komponentenweiser Division im Zähler oder im Nenner eine nichtnatürliche
Zahl erhält. Also hieß es nun zu versuchen, die gegebenen Darstellungen so zu
verändern, dass eine komponentenweise Division sowohl im Zähler als auch im
Nenner natürliche Quotienten liefert. Beispiele dafür sind:
12
2
12
:
6
36 12 36 :12 3
= : = = oder
6 6 6 : 6 1
12
2
12
:
6
12 4 12 : 4 3
= : = = und so weiter.
2 2 2 : 2 1
Diese beiden Rechnungen und zahlreiche weitere Beispiele führten zu der
Vermutung, dass man komponentenweise dividieren darf, zumindest, wenn die
Quotienten natürlich sind. Kann man aber immer zwei Brüche so darstellen,
dass dieses möglich ist? Dazu wählte ich 4 paarweise teilerfremde Zahlen, die
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