Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Die Division ist in keine innere Verknüpfung, sondern nur in dem Fall, in dem
a ein Vielfaches von b ist, ist a : b die eindeutige Lösung der Gleichung
b · x = a.
In ist nun jede Gleichung a x c
≥ 0
⊗ =
b y d eindeutig lösbar, falls a ≠ 0.
Dann definieren wir die Division ÷ als Umkehrung der Multiplikation in
folgendermaßen:
≥ 0
a c
Für alle , ∈
0
b d
mit a ≠ 0 ist c a bc
÷ : =
≥
d b ad .
Dann ist
c a
a x c
÷ die eindeutige Lösung der Gleichung ⊗ = .
d b
b y d
Beweis: Seien
a
b
a c , ∈
≥ 0
b d
gegeben, dann wähle x bc
y = und es ist
ad
x a bc abc c
⊗ = ⊗ = = .
y b ad abd d
Wegen des folgenden Monotoniegesetzes ist diese Lösung auch eindeutig:
Für alle
a x u
, , ∈ gilt:
b y v
x u a x a u
< gilt: ⇒ ⊗ < ⊗ .
y v b y b v
Beweis: Seien
a
b
x u
, ∈
y v
,
0
Dann gilt xv < uy.
und es gelte x u < .
≥
y v
ax au a x a u
xv < uy ⇒ axbv < auby ⇒ < ⇒ ⊗ < ⊗
by bv b y b v
Nun definieren wir die Division als Umkehrung der Multiplikation in
folgendermaßen:
≥ 0
Für alle
Dann ist
a c , ∈
0
b d
mit a ≠ 0 ist c a bc
÷ : =
≥
d b ad .
c a
a x c
÷ die eindeutige Lösung der Gleichung ⊗ = .
d b
b y d
80