Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Bruchdarstellungen für natürliche Zahlen zu suchen, um dann eine Regel für die
Multiplikation zu finden. Wieder war der Vorteil, dass man ja schon wusste, was
„herauskommen“ soll. Auf diese Weise konnte sehr schnell gesehen werden,
dass eine komponentenweise Multiplikation der Zähler und Nenner zum Ziel
führt.
Ein Vorgehen analog der Addition, nämlich multiplikative Verknüpfung der
Zähler bei Beibehaltung des gemeinsamen Nenners, konnte schnell verworfen
werden. Denn ein Beibehalten des Nenners, vorausgesetzt beide Brüche sind
mit dem gleichem Nenner dargestellt, bei ausschließlicher Multiplikation der
Zähler, führt immer dann zu einem falschen Ergebnis, wenn der Nenner von 1
verschieden ist und beide Zähler von 0 verschieden sind.
Anschließend folgten zahlreiche Übungen zur Multiplikation.
Nach zahlreichen Übungen, auch mit größeren Zahlen als Zähler oder Nenner
erwies sich die Notation mit einem Zwischenschritt als günstig, in der das
Produkt der Zähler nicht „ausgerechnet“ im Zähler und das Produkt der Nenner
nicht „ausgerechnet“ im Nenner notiert wurde, zum Beispiel:
277
3 4 3⋅
4
⋅ = . Denn
8 6 8⋅
6
das führte zu der Einsicht, dass man „über Kreuz“ kürzen darf. Schließlich ist
auch
3
6
⋅
4
8
3⋅
4
= . Man erhält also das gleiche Produkt, denn Zähler und Nenner
6 ⋅8
sind ja bei beiden Produkten gleich. Das Kürzen, das bei den Darstellungen der
Faktoren im zweiten Produkt möglich ist, kann im zuerst dargestellten Produkt
also „über Kreuz“ erfolgen.
Es ging nicht darum, das Kürzen „über Kreuz“ zur wichtigsten Aufgabe bei der
Multiplikation zu machen, denn man kann auch vollständig darauf verzichten.
Aber unter dem Aspekt, dass geschicktes Rechnen zur Vermeidung von
Fehlern beitragen kann, war es nicht schwierig, geeignete Beispiele zu finden,
die das Kürzen „über Kreuz“ motivierten. Wenn man zum Beispiel den Ausdruck
35 42 ⋅ vereinfachen möchte oder soll, ist man im Vorteil, wenn man erkennt,
36 55
dass 42 und 36 den gemeinsamen Teiler 6 sowie 35 und 55 den gemeinsamen
Teiler 5 haben. Denn dann liegt die Vereinfachung zu
35 42 7 7 7 ⋅ 7 49
⋅ = ⋅ = = nahe. Deswegen wurde die Teilbarkeitslehre vor der
36 55 6 11 6 ⋅11
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Behandlung der Bruchrechnung unterrichtet. Es ist fraglich, ob diejenigen, die