Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Man erinnere sich, dass für den gegebenen Bruch n
m eine Darstellung
n '≡ 9mod10 gewählt wird. Dabei ist m ' die Startzahl, mit der nun der
multiplikative Algorithmus beginnt, und m ' mod10
ist die hinterste Stelle der
n'+ 1
gesuchten Periode. Der Multiplikator ist 10
Bei dieser Umkehrung des obigen Algorithmus erhalten wir:
.
m'
mit
n'
m ' mod10
x
2
mod10
x
p−1
mod10
x
p
mod10
n '+1 +
10
n '+1 +
10
n '+1 +
10
n '+1 +
10
m' − m' mod10
= x
2
10
x2 − x 2
mod10
= x
3
10
...
x x mod10 =
− p −1 p−1
x
p
10
x − mod10
= x p
= '
p
x p
10
+ 1
m
Abbruch!
Der Algorithmus wird durchgeführt, bis eine Summe x
p + 1 auftaucht, mit
x p + 1
= m' .Setze nun für alle i mit 1 < i < p+1: y
i
= x i
mod10
und y
1
= m'mod10
Die Periode ist y y
p 1... y2
y1
p −
.
1 a m
Für das Beispiel wähle man nun zunächst a, b ∈ Ν mit = und b ≡ 9(10)
.
7 b n
7 49 + 1
In der Darstellung ist die Startzahl 7 und der Multiplikator 5, da = 5
49
10
Der neue Algorithmus liefert nämlich:
7 mod10
35 mod10
28 mod10
42 mod10
14 mod10
21 mod10
49 + 1 +
·
10
49 + 1 +
·
10
49 + 1 +
·
10
49 + 1 +
·
10
49 + 1 +
·
10
49 + 1 +
·
10
7 − 7 mod10 = 35
10
35 − 35mod10 = 28
10
28 − 28 mod10 = 42
10
42 − 42 mod10 = 14
10
14 − 14mod10 = 21
10
21− 21mod10 = 7
10
Abbruch!
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