Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Anschließend übten wir das Kürzen und Erweitern anhand vieler Beispiele.
Weitere Übungen erforderten das Kürzen oder Erweitern der Darstellungen, um
Brüche mit vorgegebenen Zählern oder Nennern darzustellen. Außerdem gab
es natürlich Übungen, deren Ziel es war, die vollständig gekürzte Darstellung
gegebener Brüche zu finden.
Es zeigte sich bei diesen Übungen, dass die natürlichen Zahlen genau die
Brüche sind, die sich mit dem Nenner 1 schreiben lassen.
In vielen Büchern wird nach dem Kürzen und Erweitern oft die gemischte
Schreibweise eingeführt, oft wird sogar von „gemischten Zahlen“ gesprochen.
Ich habe aus den oben genannten Gründen auf die Einführung der gemischten
Schreibweise verzichtet und erst später, während der Konkretisierung
gemischte Schreibweise mit Additionszeichen eingeführt.
Das Kürzen und Erweitern war natürlich für das danach folgende Thema
„Größenvergleich“ sehr nützlich.
Um für das Problem, welcher von zwei Brüchen der größere ist, eine Lösung zu
finden, motivierte ich eine Verlagerung in einen bekannten Bereich. Ich forderte
die Schülerinnen und Schüler auf, einige natürliche Zahlen zu wählen und sie in
verschiedenen Bruchdarstellungen gegenüberzustellen, um auf diese Weise
eine Regel für den Größenvergleich zu finden. Man weiß schließlich, welche
von zwei gewählten natürlichen Zahlen größer ist. Wenn zum Beispiel 4 und 5
12 20
gewählt wurden, und argumentiert wurde, dass < sei, weil 12 < 20 und
3 4
3 < 4 sei, dann konnte leicht widersprochen werden, dass mit derselben
10 12
10 20
Begründung auch < sein müsste, also insbesondere < . Dies ist
2 3
2 4
jedoch nicht möglich. Somit ist klar, dass ein Bruch, der sowohl mit größerem
Zähler als auch mit größerem Nenner dargestellt ist als ein anderer, nicht
größer sein muss als dieser. Übrigens folgt dies ja schon aus der Erkenntnis,
dass man durch das Kürzen oder Erweitern der Darstellung keine kleinere oder
größere Zahl erhält. Es wäre sonst ja jede Zahl sowohl größer als auch kleiner
als sie selbst.
Es fiel auf, dass man genau dann, wenn 4 und 5 mit dem gleichen Nenner
dargestellt waren, die 5 den größeren Zähler besaß und genau dann, wenn 4
270