Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Diese Menge ist wohldefiniert, zu jedem b ∈
existiert ein eindeutig
bestimmtes multiplikativ inverses Element b −1
∈ .
Wir erlauben uns, statt
Da B eine Teilmenge von
a
−1
a ⋅ b auch a : b oder zu schreiben.
b
ist, folgt sofort, dass alle Rechenregeln, die in
gelten, auch in B gelten. Insbesondere gilt die Assoziativität und Kommutativität
der Addition und der Multiplikation und die Distributivität der Multiplikation über
der Addition. Diese Regeln werden im Folgenden mehrfach benutzt, ohne dass
explizit auf sie hingewiesen wird.
Klar ist wieder, dass jeder Bruch verschiedene Schreibweisen besitzt, denn
seien a, c ∈
0
, b∈ gegeben, dann ist für alle n ∈ :
a
=
−
a ⋅ b
1
=
b
− 1 −1
a n n b = ⋅ n ⋅ ( b ⋅ n) −1
⋅
⋅
⋅
a =
a ⋅ n
.
b ⋅ n
Seien im Folgenden p, q ∈ B gegeben, dann findet man a, c ∈
0 , b, d ∈
mit p:= b
a
und q:=
d
c
.
Es lässt sich leicht erkennen, wann zwei Brüche gleich sind,
denn
p = q ⇔ ad = cb .
Es gilt nämlich
a c −1
p = q ⇔ = ⇔ ab = cd
b d
−1
⇔ ad = cbd d ⇔ ad = cb
−1
⇔ ab
−1
b = cd
−1
b ⇔ a = cd
−1
b ⇔ a = cbd
−1
a c
Ebenso leicht ist zu sehen, ob p ≤ q ist, denn p ≤ q ⇔ ≤ ⇔ ad ≤ bc .
b d
Die Addition zweier Brüche ist klar:
p + q =
= ( ab
−1
a
b
+
c
d
bd + cd
= ab
−1
−1
+ cd
db)(
bd)
−1
−1
= ( ab
−1
= ( ad + bc)(
bd)
ad + bc
p + q = , denn
bd
+ cd
−1
)( bdd
−1
−1
b
−1
) =
ad + bc
=
bd
−1
−1
( ab + cd ) bd )
d
−1
b
−1
Analog ist auch klar, wie zu subtrahieren ist.
Es folgt sofort, dass B bezüglich der Addition abgeschlossen ist, dass also die
Summe zweier Elemente aus B wieder in B liegt.
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