Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

3. Seien
a c e
, , ∈
0
b d f
gegeben und es gelte a c c e
≤ und ≤ .
≥
b d d f
Dann gilt ad ≤ bc und cf ≤ de, also auch adcf ≤ bcde und somit
af ≤ be, d. h.
a e ≤
b f
. Also ist ≤ transitiv in
0
≥ .
4. Seien
a c , ∈
0
b d
und es gelte nicht a c ≤ , dann gilt ad > bc, also
≥
b d
insbesondere ad ≥ bc. Das heißt aber gerade cb ≤ da, also
Also ist ≤ linear in . ≥ 0
Aus 1. bis 4. ergibt sich: ≤ ist eine lineare Ordnung in . ≥ 0
c a ≤ .
d b
Definition: Addition ⊕ in
≥ 0
Für alle
a c , ∈
≥ 0
b d
definieren wir a c ad + bc
⊕ : = .
b d bd
Diese Definition der Addition ist repräsentantenunabhängig, denn seien
(a, b), (a’, b’) ∈ K ( a , b)
und (c, d), (c’, d’) ∈ K ( c , d )
, dann gilt:
a a'
c c'
= und = .
b b'
d d'
a
b
a'
= ∧
b'
c
d
=
c'
⇒
d'
ad
bd
=
a'
d'
∧
b'
d'
bc
bd
b'
c'
=
b'
d'
⇒
adb'
d'
= bda'
d'
∧ bcb'
d'
= b'
c'
bd
⇒
adb'
d'
+ bcb'
d'
= bda'
d'
+ b'
c'
bd
⇒
( ad + bc)
b'
d'
= ( a'
d'
+ b'
c')
bd
⇒
ad + bc
bd
=
a'
d'
+ b'
c'
b'
d'
⇒
a
b
⊕
c
d
=
a'
⊕
b'
c'
d'
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