Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Im Algorithmus für die Darstellung mit den Nenner n'≡ 9(10)
gilt für alle i:
10r i−
1
= ain'
+ ri
. Dabei findet man stets eine Zahl
i
k mit
r = 10 k + a , sodass
i
i
i
10r i− 1
= ain'
+ 10ki
+ ai
ist, also 10ri
− 1
= ai
( n'
+ 1) + 10ki
, was genau die Darstellung
ist, die in dem zuletzt angegebenen Algorithmus zu sehen ist. Der
nächstfolgende Dividend, beziehungsweise die nächste auf diese Weise zu
zerlegende Zahl ist also 10 ri
und es ist 10r i
= 10(10k
i
+ ai
) .
Die zuletzt genannten Gleichungen lassen sich problemlos durch folgende
ersetzen:
7 = 1 · 5 + 2
2 1 = 4 · 5 + 1
1 4 = 2 · 5 + 4
4 2 = 8 · 5 + 2
2 8 = 5 · 5 + 3
3 5 = 7 · 5 + 0
7 = 1 · 5 + 2
beziehungsweise
1 7 = 1 · 1 2 + 5
5 1 = 4 · 1 2 + 3
3 4 = 2 · 1 2 + 1 0
1 0 2 = 8 · 1 2 + 6
6 8 = 5 · 1 2 + 8
8 5 = 7 · 1 2 + 1
1 7 = 1 · 1 2 + 5
Diese Gleichungen stellen nämlich schon wieder eine Vereinfachung dar.
Die erste Zeile wurde weggelassen. Die letzte Zeile zeigt nur an, dass der
Algorithmus abzubrechen ist, weil eine Wiederholung auftritt.
Aus 10r i
= 10(10k
i
+ ai
) folgt sofort r
i
= 10 ki
+ ai
und damit ri ≡ a i
mod10
Das erlaubt es uns, diesen Algorithmus umzudrehen, ihn also durch einen
multiplikativen zu ersetzen.
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