Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

„Aufgabe“ und drei „Ergebnissen“ oder vielleicht von einer „Aufgabe“, zwei
„Zwischenergebnissen“ und einem „Ergebnis“? Wer mit der Schüttelbox
gearbeitet hat, weiß schon, dass dies alles gleich ist, so wie es die
Gleichheitszeichen auch anzeigen, denn ob 8 Plättchen links und 7 Plättchen
rechts liegen oder zu den 8 Plättchen links zwei weitere gelegt werden, sodass
rechts noch 5 Plättchen liegen, was nach einer neuen Zählung ergibt, dass nun
links 10 Plättchen liegen und rechts 5, all diese Veränderungen der Anordnung
ändern nichts an der Anzahl. Es sind in jedem Fall 15 Plättchen.
Auch ein Ausdruck wie 4 = 4 lässt trotz des Gleichheitszeichens keine
Aufgabe – Ergebnis – Deutung zu. So ein Ausdruck kommt ebenfalls in der
ersten Klasse vor, beispielsweise in folgender Aufgabe. Setze das richtige der
Symbole in das Kästchen ein: 4 ¤ 4. Natürlich kommen triviale
Gleichungen der Art 4 = 4 auch später noch vor, beispielsweise in einer Folge
von Äquivalenzumformungen.
Auch im Zusammenhang mit Größen liegt eine Aufgabe – Ergebnis – Deutung
fern, denn wo soll bei 2,80 DM = 280 Pf oder bei 3,55m = 355cm die Aufgabe,
wo das Ergebnis sein? Es stehen hier jeweils verschiedene Zahlen auf beiden
Seiten des Gleichheitszeichens. Aber es stehen dort auch verschiedene
Einheiten. Insgesamt liefern die Kombinationen aus Zahl und Einheit in beiden
Fällen die gleiche Größe. Bei Ausdrücken wie 8 + ¤ = 15 oder 17 = 9 + ¤ zeigt
das Gleichheitszeichen an, dass die Schülerinnen und Schüler Zahlen in das
Kästchen einsetzen sollen, sodass links und rechts gleich viel ist.
Es wäre schön, wenn man einen Umgang mit dem Gleichheitszeichen
etablieren könnte, der mehr als die Aufgabe – Ergebnis – Deutung zulässt,
denn meines Erachtens hängt unmittelbar damit auch der Zahlbegriff
zusammen und die Zahl als das Objekt sollte deutlich von ihrer Schreibweise,
also von der Erscheinungsform des Objekts, unterschieden werden. Wenn man
bei Beginn des Rechenunterrichts davon ausgeht, dass die Kinder die Invarianz
verstehen, dann ist klar, dass 3 + 5 und 8 als zwei verschiedene Schreibweisen
derselben Zahl anzusehen sind.
Die verschiedenen Namen für die gleiche Zahl sind nichts anderes als
verschiedene Repräsentanten für dieselbe Äquivalenzklasse bezüglich der
Relation „=“. Wenn das klar ist, dann braucht man nicht in der 6. Klasse ständig
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