Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Um den Körper ( , +, ·) aus (
≥ 0
, +, ·) zu konstruieren, ist eine weitere
Zahlbereichserweiterung nötig, die die negativen Zahlen liefert.
Man definiere dazu eine Relation auf x :
≥ 0 > 0
∀ ( , b),
( c,
d) ∈
a x ≥ 0
0
> : (a, b) ~ (c, d) : ⇔ a + d = b + c
Dass es sich bei dieser Relation um eine Äquivalenzrelation handelt, ist fast
analog zu zeigen wie bei obiger Relation, die zur Konstruktion der rationalen
Zahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen geführt hat. Diese neue Relation
führt auf ähnliche Weise zur Menge der negativen Zahlen.
Ich werde kurz aufzeigen, dass in diesem Konzept auf jede Frage aus obigem
Fragenkatalog eine positive Antwort gegeben werden kann:
1. Was ist ein Bruch?
Hier ist ein Bruch als eine Äquivalenzklasse zu verstehen.
2. Wie kann man Brüche darstellen?
Jeder Bruch besitzt unendlich viele Darstellungen, da jede Klasse unendlich
viele Repräsentanten enthält.
Sei a ∈
0
, b ∈ , dann gilt:
a
na
K ( a , b)
= = a : b , aber auch K ( a , b)
=K
( n⋅ a,
n⋅
b)
= = na : nb
b
nb
für alle n ∈ , da für alle n ∈ : anb = bna, also (a, b) ~ (na, nb).
3. Wie können wir erkennen, welcher Bruch größer oder kleiner ist?
Für alle a, c ∈ , b, d ∈ gilt: K 0 ( a,
b)
≤ K ( c,
d )
⇔ ad ≤ bc .
4. Wie können wir Brüche addieren und subtrahieren?
Für alle a, c ∈
0
, b, d ∈ gilt:
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