Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Man vergleiche die Schwierigkeit beider Verfahren beispielsweise bei der
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Bestimmung der Periodenlänge von . 199
Bei Nutzung des Divisionsalgorithmus beginnt man wie folgend dargestellt.
Links ist der Beginn der Divisionskette zu sehen, rechts die ersten Stellen der
Periode:
1 = 0 · 199 + 1 0,…
10 = 0 · 199 + 10 0,0…
100 = 0 · 199 + 100 0,00…
1000 = 5 · 199 + 5 0,005…
50 = 0 · 199 + 50 0,0050…
500 = 2 · 199 + 102 0,00502…
1020 = 5 · 199 + 25 0,005025…
250 = 1 · 199 + 51 0,0050251…
510 = 2 · 199 + 112 0,00502511…
Die Division durch 199 lässt sich fast ebenso leicht im Kopf durchführen wie die
Division durch 200 und die Bestimmung der Reste ist ebenfalls nicht schwierig.
Dennoch wird sicher jeder die Berechnung mit Hilfe des multiplikativen
Algorithmus für noch einfacher halten.
Bei Nutzung des Multiplikationsalgorithmus beginnt man mit der Suche eines
Vielfachen von 199, das kongruent 9 modulo 10 ist. Die Suche ist sofort
beendet, denn die Zahl 199 selbst ist eine solche Zahl. Zu dieser Zahl addieren
wir 1 und erhalten 200. Nun dividieren wir noch durch 10 und haben mit der
Zahl 20 unseren Multiplikator gefunden.
Wir beginnen mit der Startzahl 1 und multiplizieren mit 20 modulo 199. Wir
fahren fort, die erhalten Produkte mit 20 modulo 199 zu multiplizieren, bis wir
wieder 1 erhalten. Diese Multiplikation lässt sich leicht durchführen. Wir
zerlegen jedes erhaltene Produkt x in die beiden Summanden 10 a + b, so
dass b gerade der Zehnerrest von x ist und erhalten das nächste Produkt
20 x mod 199 = 20 (10 a + b) mod 199 = 200 a + 20 b mod 199
= 20 b + a mod 199.
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