Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Nun ist es noch wichtig zu untersuchen, welche Rechenregeln in der Menge der
Brüche gelten und eine Antwort auf die Frage zu finden, was wir durch diese
Zahlbereichserweiterung gewonnen und verloren haben.
Frage 6:
Welche Regeln gelten in der Menge der Brüche?
Antwort:
Es gelten folgende Regeln:
- Die Kommutativgesetze bezüglich der Addition und der
Multiplikation gelten weiterhin.
- Die Assoziativgesetze bezüglich der Addition und der Multiplikation
gelten weiterhin.
- Die Distributivgesetze gelten weiter.
(Die Nachweise hierfür sowie für die Assoziativgesetze und
Kommutativgesetze sind sehr einfach und lassen sich auf deren
Gültigkeit im Bereich der natürlichen Zahlen zurückführen.)
- Die Trichotomie gilt weiterhin.
- 0 ist neutrales Element bezüglich der Addition.
- 1 ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation.
- Die Menge B ist bezüglich der Addition, der Multiplikation und der
Division abgeschlossen.
- Jeder Bruch ≠ 0 besitzt ein multiplikatives Inverses.
- Wir können nun uneingeschränkt dividieren.
Jede Gleichung der Form a ⋅ x = b mit a ∈ , b ∈
0
besitzt nun die
eindeutige Lösung x = a
b .
Wir haben außerdem einige Eigenschaften gewonnen, die in der Menge aller
Brüche gelten und andere Eigenschaften verloren, die in der Teilmenge der
natürlichen Zahlen gelten, aber nicht auf die Menge aller Brüche übertragbar
sind :
- Im Bereich der natürlichen Zahlen hatte jede Zahl einen Nachfolger und
jede Zahl > 1 einen Vorgänger. Kein Bruch hat einen Vorgänger oder
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