Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Die Brüche werden eingeführt als Lösungen der Gleichungen oben genannter
Form.
Die Menge der Brüche ist also die Vereinigung der Lösungsmengen aller
Gleichungen vom Typ a · x = b mit a ∈ , b ∈ . 0
An der Stelle wird schon deutlich, warum dieses Konzept ungeeignet sein
muss. Es setzt nämlich eine Behandlung der Gleichungslehre vor Einführung
der Brüche voraus, wie auch Freudenthal selbst einräumt: „Die, an und für sich
zweifelhafte, Anschaulichkeit des Bruchrechnens ist zwar verloren gegangen,
aber dafür verlaufen die Rechnungen nach einem allgemeinen Schema, das
man erst nach beträchtlicher algebraischer Übung versteht.“ 54
Ich werde sofort den Fragenkatalog durchgehen, um anschließend zu zeigen,
dass dieses Konzept nicht gut geeignet ist für den Unterricht in Klassenstufe 6.
1. Was ist ein Bruch?
Ein Bruch ist in diesem Konzept eine Lösung einer Gleichung der Form
a · x = b mit a ∈ , b ∈
0 .
Es ist sofort klar, dass jede natürliche Zahl ein Bruch ist, denn man betrachte
die Gleichung a · x = n · a mit a ∈ , n ∈
0
, um zu sehen, dass x = n für
jedes n ∈
0
Lösung einer solchen Gleichung sein kann.
Was ist aber die Lösung von 5 · x = 2? Die Lösung wird definiert als 5
2
, was
2 : 5 bedeutet.
2. Wie kann man Brüche darstellen?
Sei ein Bruch a
b
gegeben. Er ist die Lösung der Gleichung a · x = b.
Sei nun n ∈
gegeben, dann hat die Gleichung na · x = nb die gleiche
nb b nb
Lösungsmenge wie a · x = b. Da Lösung von na · x = nb ist, gilt = .
na
a na
In der Gleichungslehre muss also schon klar sein, wann Gleichungen
äquivalent sind, beziehungsweise wann sie die gleiche Lösungsmenge haben,
54 Freudenthal (1973: 206 f.)
119