Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

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links nach rechts sowohl die Minuenden als auch die Subtrahenden stets um 1111 kleiner werden. Ich halte es für sehr wichtig im Zusammenhang mit der Einführung des Gleichheitszeichens darauf zu achten, dass es um den Vergleich zweier Zahlen geht und nicht darum zu sehen, was sich aus der linken Seite ergibt. Deutlicher wird dies sicher, wenn neben der Gleichheitsrelation und dem „=“- Zeichen auch die „>“- und „
innere Verknüpfung ist, lernen die Grundschulkinder schon sehr früh an Aufgaben, die sich nicht lösen können. Gerade aber im Alltag kommt es doch häufig vor, dass man trotzdem etwas teilen möchte, auch wenn es nicht ohne weiteres möglich ist. Wenn man vier Kindern 30 Bonbons gibt, dann wollen und werden die Kinder diese unter sich aufteilen, auch wenn es nicht geht. Sie machen dann die Erfahrung, dass ein Rest von 2 Bonbons bleibt, der noch an die vier Kinder aufgeteilt werden muss. Der Sachverhalt 30 : 4 = 7 + 2 : 4 wird oft als 30 : 4 = 7 R 2 dargestellt, was als sieben Rest zwei gesprochen wird. Diese Darstellung ist zwar weit verbreitet, aber sie ist schlecht, weil die Transitivität der „=“-Relation bei dieser Schreibweise nicht gegeben ist. Es ist nämlich ebenso 23 : 3 = 7 R 2, aber keineswegs ist 30 : 4 = 23 : 3. Anstatt hier diese neue Schreibweise einzuführen, die nicht mit den Anforderungen einer Äquivalenzrelation vereinbar ist, bietet es sich an, eine Schreibweise zu verwenden, die korrekt und mit der später eingeführten Bruchrechnung voll kompatibel ist. So kann man statt 30 : 4 auch 28 : 4 + 2 : 4 schreiben, denn, wie jedes der Kinder sofort einsieht, ist 28 die größte Anzahl Bonbons, die kleiner oder gleich 30 und durch 4 teilbar ist. Und dass eben dann noch 2 Bonbons übrig bleiben, die an die 4 Kinder aufgeteilt werden müssen, ist auch klar. Also spricht nichts gegen die Einführung der Schreibweise 30 : 4 = 28 : 4 + 2 : 4. Sie macht auch sofort deutlich, welcher Gedanke hinter der Zerlegung steckt, während 30 : 4 = 7 R 2 nicht auf den ersten Blick erahnen lässt, was die Schreibfigur auf der rechten Seite mit der auf der linken zu tun haben mag. Dass man im Ausdruck 30 : 4 = 28 : 4 + 2 : 4 noch 28 : 4 durch 7 ersetzen kann, wissen die Kinder, weil doch jedes Kind 7 Bonbons bekommt, beziehungsweise weil sie schon wissen, dass 28 : 4 = 7 ist. Dass für 2 : 4 momentan kein anderer Name bekannt ist, sollte nicht beunruhigen, denn dieser Ausdruck steht dafür, dass noch 2 durch 4 geteilt wird. Das entspricht ja auch der gerade gemachten Erfahrung der Kinder, dass 2 Bonbons übrig bleiben, die noch an die vier Kinder aufgeteilt werden sollen. Solange die Kinder nicht wissen, wie man 2 : 4 auf andere Weise schreiben kann, werden sie nichts dagegen haben, 2 : 4 zu schreiben. Also gibt es außer Bequemlichkeit keinen Grund, hier die Schreibfigur „R 2“ einzuführen. 51
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3. Wie können wir erkennen, welche
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117 wählen und erhielte dann als n
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1 2 l -Flaschen abgefüllt werden s
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6.2 Das Operatorkonzept Das Operato
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insbesondere auch mit natürlichen
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2. Wie kann man Brüche darstellen?
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Problem besteht darin, auf einfache
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Es gibt Bücher, die nun einen Bruc
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- Die Einführung der Division wird
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5. Wie können wir Brüche multipli
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um das Erweitern der Bruchdarstellu
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(a · x) : (c · y) = b : d Diese l
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Befürworter Freudenthal, dass es n
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sie zwar mit dem stumpfen, formalen
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haben den großen Vorteil, dass sie
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seien einfache Brüche und kämen m
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Insbesondere ist zu klären, ob die
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Gründe für die Annahme, dass die
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erneut gefragt. Dieses Experiment h
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sind, als Piaget behauptete, herrsc
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Bei Bevölkerungsgruppen, die in Ge
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schnell überlastet. Wenn man ameri
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In den letzten Jahrzehnten ist eine
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Dass auch in modernen Gesellschafte
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Man geht heute davon aus, dass auch
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Möglicherweise verursacht schon di
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Stunden täglich oder mindestes 3 S
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fördere die Hand-Auge-Koordination
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Phantasie-Welt, in der sie mit Schw
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Gee beschreibt einen vierphasigen P
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Fachmagazine durchstöbert, Freunde
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zumindest Dittmann 122 , der bei de
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„Hierbei werden zunächst 3 Plät
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Sowohl Padberg 125 als auch Wartha
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Bemerkenswert ist, dass im Buch aus
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noch in 4 Portionen oder an die 4 b
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Bereich der natürlichen Zahlen bes
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Möglichkeiten, einen Bruch darzust
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Es gilt: 2 5 4 5 6 5 8 5 10 5 < < <
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Natürlich gibt es weitere Strategi
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Das bedeutet, sie schreiben wieder
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Beispielen 6 6 5 + = und 3 2 1 30 1
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∀a ∈ 0 ∀c , b, d ∈ : a ⋅
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Dividend und Kehrbruch des Divisors
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einen Nachfolger. Die Zahlen sind n
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Padberg und Wartha haben viele Fehl
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12 18 Erleichterung sein, denn der
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Beschreibung der Vorgehensweise üb
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eindringlich darüber informiere, d
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Kompetenz gefordert als das rein fo
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natürlichen Zahlen so wie Perlen a
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Im rechten Bild könnte man wie im
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Es zeigt sich deutlich, dass ein Br
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Anzahl sei n. Wenn es dann z markie
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a c dann ist für jede beliebige Gr
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Es bieten sich hier sehr viele Lös
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esonders gut für eine Visualisieru
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ist es aber nicht mehr erforderlich
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„Der Musikunterricht dauert ein L
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man durch Multiplikation mit einer
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Zehnerpotenz. Eine wichtige Erkennt
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1 1 13,02 bedeutet demnach 1⋅ 10
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Von der Bruch- zur Kommadarstellung
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40 : 7 100000 5 5 = + : 7 , man not
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vorstellen werde. Dieser Algorithmu
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221 Also ist 0 ,0223= . 9900 Rechne
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Multiplikation Die Multiplikation m
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8.1 Ein multiplikativer Algorithmus
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Der Algorithmus ist der gleiche wie
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Man erinnere sich, dass für den ge
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17 85 68 102 34 51 7 5 8 2 4 1 Die
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Multiplikatoren Die folgende Tabell
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Die Rechnung ist dann kinderleicht
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lim( −1+ ∑ ∞ i= 0 1 i 1 ( ) )
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das Doppelte erhält. Somit muss an
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Nicht verschwiegen werden sollen di
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zu 3.: Wenn dieses wirklich ein Hin
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Auf diese konkreten Brüche als Ein
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Ein weiterer Schüler kam im letzte
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verschiedene Weisen auf die Suche n
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ersten Mal auftauchten, ist auch kl
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können und deswegen seinen Sinn ni
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Mitte der Tafel. Ich wollte sehen,
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werden, da sie ja zuerst 11 und dan
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überhaupt kein Thema. Es konnte au
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Anschließend übten wir das Kürze
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Wir sahen später, dass manchmal au
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Nun ist ein Bruch, wenn er keine na
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einen Blick darauf zu werfen, wie d
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hier nicht die gemeinsamen Teiler e
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Zähler und Nenner zweier Brüche d
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Sachaufgaben mit Bruchteilen von Gr
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1 28 1 1 1 1 + + + = und 14 7 4 2 1
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Es ist völlig egal, welche beiden
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entsteht dann, wenn man als Lehreri
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Neben diesen beiden häufiger vorko
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Schließlich wurde nach der Einfüh
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5,2 · 3,3 = 15,6 Diese Fehler ware
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Greenfield, P.M.: Die kulturelle Ev
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Pohlmann, H.: Überwältigt von der
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