Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Die so definierte Addition ist eine innere Verknüpfung in , denn
≥ 0
seien
a c
ad +
, ∈ , dann gilt für :
b d
bdbc
ad + bc ∈
0
und bd ∈ , da b, d ≠ 0.
Definition: Subtraktion (-) in
≥ 0
In
0
ist die Subtraktion keine innere Verknüpfung. Für a, c ∈
0
hat
aber die Gleichung a + d = c genau dann eine Lösung, wenn a ≤ c ist.
Diese wird mit c - a bezeichnet.
Die Subtraktion ist in
≥ 0
ebenfalls keine innere Verknüpfung, aber für
alle
a
b
a c , ∈
0
b d
mit a c bc −
≤ ist ≥
b
bdad
d
x c
⊕ = .
y d
die Lösung der Gleichung
a c
Wegen ≤ gilt ad ≤ bc und somit ist bc - ad ∈
0
b d
.
a x a bc − ad ad bc − ad ad + bc − ad bc c
Weiter gilt ⊕ = ⊕ = ⊕ =
= = .
b y b bd bd bd bd bd d
Diese Lösung ist eindeutig, denn es gilt die
Monotonieregel der Addition:
Für alle a, x, u ∈
0
und alle b, y, v ∈ gilt:
Ist
x u
a x a u
< , dann ist auch ⊕ < ⊕ .
y v
b y b v
Beweis: Seien a, x, u ∈
0
und alle b, y, v ∈ und es gelte o. B. d. A.
x u < ,
y v
dann gilt xv < uy.
xv < uy ⇒ bxv < buy ⇒ ayv + bxv < avy + buy
⇒ (ay + bx)v + (av + bu)y ⇒ (ay + bx)bv < (av + bu)by
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