Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Wir definieren die Abbildung
ϕ :
n
0
→ {
1
n ∈
n
n → 1
0 }
Sei nun 1
x ∈ {
n
1
n ∈
0 } gegeben, dann wähle x ∈ 0 und
ϕ (x) = 1
x
, das heißt, ϕ ist surjektiv.
Seien
x
,
1
y n
∈ { n ∈
1 1
} gegeben und es gelte x y
0 = ,
1 1
dann gilt x · 1 = 1 · y, also x = y, das heißt ϕ ist injektiv.
Seien nun x, y ∈
1. ϕ (x) ⊕ ϕ (y) =
2. ϕ (x) ⊗ ϕ (y) =
multiplikationstreu.
3. x < y ⇔ x · 1 < 1 · y ⇔
ordnungstreu.
0
, dann gilt:
x y x + y
⊕ = = ϕ (x + y), also ist ϕ additionstreu.
1 1 1
x y x ⋅ ⊗ = = ϕ (x · y), also ist ϕ auch
1 1 1y
x <
1
y
⇔ ϕ (x) < ϕ (y), also ist ϕ
1
Man kann nun sagen, dass in 0 ≥ 0
eingebettet ist. Für jede Zahl
n ∈ lässt sich nun n
0 schreiben. Statt ⊕ , ⊗,
( −),
÷ schreiben wir wie
1
gewohnt +, ·, -, :.
Im Folgenden soll untersucht werden, welche Regeln für
≥ 0
mit den
Verknüpfungen +, ·, -, : und die Relation ≤ gelten.
Satz 7: Die Addition ist in
≥ 0
kommutativ und assoziativ.
Der Beweis erfolgt über Rückführung auf die Kommutativität und Assoziativität
der Addition in
0 .
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