Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

etrachtet man drei aufeinanderfolgende Typen von Antworten. Während des
ersten Stadiums wird zwischen den beiden Mengen (4 + 4) und (1 + 7) keine
Äquivalenz wahrgenommen. Für die Versuchspersonen des dritten Stadiums
besteht Äquivalenz, und zwischen beiden Stadien stellt man
Übergangsreaktionen fest (zweites Stadium), bei denen die Gleichheit nicht
durch additive Komposition, sondern durch vorhergehende Nachprüfung (durch
Korrespondenz oder durch Zählung) konstruiert wird.“ 21
Die Kinder beginnen also schon vor der konkret-operationalen Periode, also vor
der Grundschulzeit damit, die Fähigkeit zu erwerben, eine Invarianz zu
erkennen, d. h. die gleiche Anzahl von Elementen einer vorgegebenen Menge
trotz unterschiedlicher Anordnung dieser Elemente zu erkennen.
Sie können also auf der konkreten Ebene sehr wohl schon nachvollziehen, dass
4 + 4 = 1 + 7 ist. Sie wissen auch, dass 4 + 4 = 8 ist, und natürlich ist 8 eine
Zahl. 4 + 4 ist aber das Gleiche wie 8, nur in einer anderen Anordnung
beziehungsweise in einer anderen Schreibweise, je nachdem, ob wir die
konkrete Ebene betrachten oder die symbolische Ebene. Mit gleicher
Begründung ist auch 4 + 4 eine Zahl, ebenso wie 7 + 1 oder 3 + 5 und so fort.
Neuere Studien vom Massachusetts Institute of Technology, die auf das
Problem der Fehlkommunikation in Piagets Experimenten hinweisen, deuten
darauf hin, dass die Fähigkeit zur Erkenntnis der Invarianz schon viel früher
erreicht wird, als Piaget sagt.
Schon Zweijährige seien nach diesen Studien in der Lage, die Invarianz zu
erkennen. 22
Die Erkenntnis der Invarianz ist aber auch notwenig für die Einsicht in die
Tatsache, dass Zahlen verschiedene Darstellungen besitzen. Dass diese
Erkenntnis möglicherweise nicht hinreichend ist, ist ein Problem, das in den
ersten Schuljahren gelöst werden sollte.
21 Piaget/ Szeminska (1972: 243)
22 Müller-Weuthen (2006: 10)
34