Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Beweis: Sei a ∈
0
, seien b, c ∈ , dann gilt wegen der Assoziativität der
Multiplikation in
0
: ac · b = bc · a, das heißt, (ac, bc) ~ (a, b).
Ein Bruch ändert sich also nicht, wenn man bei einer beliebigen
Darstellung eines Bruches den Zähler und den Nenner mit derselben
Zahl ( ≠ 0) multipliziert.
Definition: ≤ - Relation
a c
Für alle , ∈ a c
b d
≥ 0
definieren wir ≤ : ⇔ ad ≤ bc .
b d
Diese Relation ist repräsentantenunabhängig, denn seien
(a, b) ,(a’, b’) ∈ K ( a , b)
und (c, d), (c’, d’) ∈ K ( c , d )
, dann gilt:
(a, b) ~ (a’, b’) und (c, d) ~ (c’, d’).
O. b. d. A. gelte
a ≤
b
c
d
, ad ≤ bc.
Nach Voraussetzung gilt ab’ = ba’ und cd’ = dc’ und ad ≤ bc.
ad ≤ bc ⇒ ab’d ≤ bb’c ⇒ ba’d ≤ bb’c ⇒ a’d ≤ b’c⇒ a’d’d ≤ b’cd’
⇒ a’d’d ≤ b’c’d ⇒ a’d’ ≤ b’c’ ⇒
a'
c'
≤ .
b'
d'
Satz 2: ≤ ist eine lineare Ordnung in
≥ 0
a
Beweis: 1. Sei ∈ b
≥ 0
gegeben, dann gilt:
ab ≤ ab, d. h.
a a ≤ , also ist ≤ reflexiv in
0
b b
≥ .
2. Seien
gilt:
a c , ∈
b d
gegeben, und es gelte a c
≥ 0
≤
b d und
ad ≤ bc und cb ≤ da, also ad = bc und somit
Also ist ≤ antisymmetrisch in . ≥ 0
a c = .
b d
c ≤
d
a
b
, dann
76