Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Zähler und Nenner zweier Brüche darstellen sollten, damit der Blick nicht durch
gemeinsame Teiler erschwert wird. Das sah zum Beispiel so aus:
3 4
:
5 7
Die Frage war nun, wie man die Darstellungen verändern konnte, sodass man
bei komponentenweiser Division der gegebenen Zähler und Nenner natürliche
Quotienten erhält. Für den Zähler reichte es, die Darstellung des ersten
Bruches mit 4 zu erweitern. Für den Nenner reichte es, die Darstellung des
ersten Bruches mit dem Nenner des zweiten zu erweitern.
Es konnte gezeigt werden, dass es immer reicht, den Dividenden mit dem
Zähler und dem Nenner, mit dem der Divisor dargestellt ist, zu erweitern. Dann
liefert eine komponentenweise Division immer natürliche Quotienten. Was man
dann erhält, fanden einige Schülerinnen und Schüler lustig. Denn der Quotient
ist die gleiche Zahl, wie das Produkt aus Dividend und dem Kehrbruch des
Divisors.
An obigem Beispiel:
3 4
:
5 7
3⋅
4 ⋅ 7
=
5 ⋅ 4 ⋅ 7
4
:
7
3⋅
7 ⋅ 4 : 4
=
5⋅
4 ⋅ 7 : 7
3⋅
7
=
5 ⋅ 4
3
= ⋅
5
7
4
In der Folge verzichteten die Schülerinnen und Schüler auf das eben
beschriebene „Schrittweise Erweitern“, da die Multiplikation mit dem Kehrbruch
viel einfacher ist.
Da wir schon zu Beginn den Bruchstrich als gleichwertigen Ersatz für das
Divisionszeichen eingeführt haben, stellt sich die Frage, ob man statt
3 4
:
5 7
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
auch
⎝ 5 ⎠
schreiben darf? Wir haben ursprünglich definiert, dass die Brüche die
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
Zahlen sind, die sich als Quotienten zweier natürlicher Zahlen schreiben lassen.
Nach dem, was gerade herausgefunden wurde, ist dies natürlich ein Bruch,
denn die Division eines Bruchs durch einen anderen Bruch ist nichts anderes
als die Multiplikation des Bruchs mit dem Kehrbruch des anderen Bruchs. Das
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