Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Nun ist ein Bruch, wenn er keine natürliche Zahl ist, nicht ohne Rechenzeichen
schreibbar. Denn nach unserem Verständnis ist der Bruchstrich nur ein anderes
Symbol für das Divisionszeichen. So musste die Einschränkung gemacht
werden, dass das „Ergebnis“ noch einen Bruchstrich enthalten darf.
Ich forderte die Schülerinnen und Schüler auf, sich zwei natürliche Zahlen zu
wählen und diese in verschiedenen Bruchdarstellungen zu notieren, um an
geeigneten Darstellungen eine Regel für die Addition zu finden.
Wenn man nun zum Beispiel 5 + 3 in beliebige Bruchdarstellung überträgt,
dann könnte es so aussehen:
50 9 + . Wir wissen natürlich, dass die Summe 8
10 3
ist. So ist sofort klar, dass die komponentenweise Addition von Zähler und
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Nenner nicht die Summe liefert, denn ≠ 8 .
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Ich erinnerte die Schülerinnen und Schüler nicht an das schon mehrere Tage
zurückliegende Beispiel mit den Bonbons, bei dem das Distributivgesetz
genutzt werden konnte, denn dieses lieferte später die Begründung für die
gefundene Regel. Diese musste aber erst gesucht werden. Viele versuchten
mehrfach, die Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen additiv zu verknüpfen,
konnten dabei aber zunächst keine Regel erkennen. Sie wussten ja immerhin,
dass die Summe 8 sein muss und waren insofern in der Lage, Vermutungen zu
falsifizieren. Es dauerte aber nicht lange, bis sie geeignete Darstellungen
fanden, wie zum Beispiel
50 30 10 6 5 3
+ , + oder + , die etwas erkennen
10 10 2 2 1 1
ließen. Es wurde völlig analog mit anderen natürlichen Zahlen wiederholt, bis
wir zu folgender Regel kamen: Wenn die Brüche mit dem gleichen Nenner
dargestellt sind, dann erhält man die Summe, wenn man den gemeinsamen
Nenner behält und die Zähler addiert. Eine analoge Übertragung auf die
Subtraktion fiel nicht schwer. Wir erweiterten diese Regel auf alle Brüche und
übten ausführlich. Besonders einsichtig für die Legitimation dieser Übertragung
zeigten sich die Schülerinnen und Schüler meines Erachtens deswegen, weil
wir die Brüche als Quotienten eingeführt haben. Denn dass
10
2
6
2
10 + 6
= =
2
ist, konnte nun mit dem Distributivgesetz begründet werden, nur schrieben wir
früher: 10 : 2 + 6 : 2 = (10 + 6) : 2 = 16 : 2.
+
16
2
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