Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Es gibt Bücher, die nun einen Bruchoperator auf einen Bruch wirken lassen, der
Maßzahl einer Größe ist. Hierbei haben also die Brüche verschiedene Rollen.
Der eine Bruch ist Eingabewert, der andere Bruchoperator. Der Ausgabewert ist
das Produkt der Brüche.
Andere Bücher leiten die Multiplikationsregel her, indem sie zwei
Bruchoperatoren nacheinander wirken lassen. Es soll ein Ersatzoperator
gefunden werden. Das ist aber kein Problem, denn man muss sich nur der
Definition eines Bruchoperators bedienen.
Seien also Bruchoperatoren
⎯⎯→
⋅ n
m
und
⎯⎯→
⋅ a
b
gegeben, dann ist ihre
Verkettung
⎯⎯→
⋅ n
m
⎯⎯→
⋅ a
b
⋅ n : m ⋅ a : b
( ⎯⎯→ ⎯⎯→ )( ⎯⎯→ ⎯⎯→ ) .
der Ersatz für die Operatorkette
⋅ n : m ⋅ a : b
Wegen der Assoziativität ist ( ⎯⎯→ ⎯⎯→ )( ⎯⎯→ ⎯⎯→ )
durch
die
Operatorkette
⋅ n : m ⋅ a : b
⎯⎯→ ( ⎯⎯→ ⎯⎯→ ) ⎯⎯→
ersetzbar, diese wiederum kann
wegen der Kommutativität durch
⋅ n ⋅ a : m : b
⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→
ersetzt werden.
Diese Operatorkette kann durch die Verkettung der einfachen Mal- und
Divisionsoperatoren
⎯ ⋅ ⎯→
na und ⎯⎯→
mb
lässt sich diese Verkettung aber durch den Bruchoperator
:
ersetzt werden. Nach Definition
⎯ ⋅ na
mb
⎯→
ersetzen. So
kann durch striktes Befolgen der Regeln auf sehr einfache Weise die Regel für
die Multiplikation von Brüchen hergeleitet werden.
Zur Division überlege man sich, dass jeder Divisionsoperator der
a
:
Umkehroperator eines Multiplikationsoperators ist. So ist ⎯⎯→
b
Umkehroperator von
⎯⎯→
⋅ a
b
. Andererseits ist auch ⎯⎯→
⋅ b
a
Umkehroperator
von
⎯⎯→
⋅ a
b
a
:
. Da die Operatoren ⎯⎯→
b
und
⎯⎯→
⋅ b
a
das Gleiche bewirken,
sind sie gleich.
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