Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

5 Innermathematische Konzepte
Innermathematische Konzepte sind keine didaktischen Konzepte. Sie sind nicht
als Grundlage für die Unterrichtsplanung geeignet.
Aber ein Bruchrechenunterricht kann nur dann erfolgreich stattfinden, wenn die
Lehrerin oder der Lehrer den Inhalt innermathematisch verstanden hat. Es
reicht nicht, ein didaktisches Konzept zu kennen. Wer nicht die
innermathematischen Hintergründe kennt, wer insbesondere die Konstruktion
der Brüche aus den natürlichen Zahlen nicht kennt oder nicht den Blick aus der
Perspektive von den reellen Zahlen auf die Brüche werfen kann, wird niemals
souverän Bruchrechnung unterrichten können. Dazu nämlich ist es, wie bei
allen anderen mathematischen Themen unerlässlich, die Materie auf der
fachlichen Ebene durchdrungen zu haben.
5.1 Die Konstruktion des Halbkörpers (
≥ 0
, + , ⋅) mit der
Ordnung ≤ aus dem geordneten kommutativen Halbring
( , +, ⋅
0
) oder die „Bottom-up-Methode“
Gegeben ist die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der 0 mit den
Verknüpfungen +, ·, -, : und der Ordnungsrelation ≤.
Die Verknüpfungen + und · sind in dieser Menge assoziative und kommutative
innere Verknüpfungen. Außerdem ist · distributiv über +.
0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition, 1 ist das neutrale Element
bezüglich der Multiplikation.
Wir betrachten das kartesische Produkt x . 0
In dieser Menge ist natürlich (1, 2) ≠ (2, 4), denn für alle
(a, b), (c, d) ∈
0
x gilt: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
Auf dieser Menge definieren wir eine Relation ~ durch:
(a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc.
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