Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

handelte es sich um längliche Kaustreifen mit Fruchtgeschmack, die bei
Jugendlichen sehr beliebt sind. Ebenso gut sind kleine Schokoladenriegel
geeignet. Es geschah, was zu erwarten war. Jeder Gruppe gelang eine solche
Teilung und jede Gruppe konnte ihre Vorgehensweise beschreiben. Die
Schülerinnen und Schüler traten mit ihrer Teilung und deren Beschreibung
selbst dafür ein, dass von nun an nichtnatürliche Quotienten als Zahl
verstanden wurden.
Bei den Beschreibungen zeigten sich unterschiedliche Strategien. Wenn
beispielsweise 11 Kaubonbons an 3 Personen verteilt werden sollten, dann
wurde einerseits erklärt, man könne ja zunächst jeder Person 3 Bonbons geben
und müsse dann noch jeden der übrigen Bonbons in 3 Teile teilen, so dass
auch diese an die 3 Personen geteilt werden könnten. Andererseits wurde auch
erklärt, man könne jeden der 11 Bonbons in drei Teile teilen, dann hätte man 33
Teile, von denen jeder 11 bekäme. Anschließend wurde erfolgreich überprüft,
dass beide Strategien das gleiche liefern. Analog wurde auch von Paaren
argumentiert, die 7 Bonbons unter sich aufteilen durften.
Im Folgenden stellte ich ein weiteres Problem. Die Gruppen sollten sich
überlegen, wie viele Kaubonbons ich in eine Schachtel legen müsste für eine
Gruppe, die aus zwei- oder dreimal so vielen Personen besteht, wenn es
gerecht zu gehen solle? Es gab niemanden, der dieses Problem nicht lösen
konnte. Ebenso war es bei zahlreichen weiteren Beispielen. Damit war die
Grundlage für das Kürzen und Erweitern geschaffen.
Um herauszustreichen, dass es sich bei diesen Quotienten um Zahlen handelt,
kehrte ich zurück zu den Gruppen, die sich mit dem Quotienten 11 : 3 befasst
hatten. Diese hatten zunächst 11 Bonbons, die an 3 Schülerinnen und Schüler
aufgeteilt werden sollten. Auf die Frage, wie viele Bonbons jede Person
bekommen sollte, konnte nur die Antwort 11 : 3 gegeben werden. Ich stellte nun
die Aufgabe, welchen Anspruch jede Person hätte, wenn die Gruppe 7 weitere
Bonbons bekäme. Es ist natürlich sofort klar, dass dann jede Person weitere
7 : 3 Bonbons bekommen soll. Hier kamen einige Schülerinnen und Schüler
sehr schnell zu der Erkenntnis, dass nun jede Person 6 Bonbons bekommen
sollte. Ihr Argument war, dass insgesamt 18 Bonbons an 3 Personen aufgeteilt
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