Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Beispielhaft wird die Herleitung der Kommadarstellung von 7
1 hier im Zweier-
und anschließend im Dreiersystem durchgeführt.
Im Zweiersystem schreibt sich 7 als 111. Gesucht ist nun die
Kommadarstellung von
1
111 (2)
, alle nun folgenden Zahlen sind im Zweiersystem
geschrieben. Es wird das gleiche Verfahren angewendet wie oben.
Zunächst ist ein Vielfaches von 111 zu suchen, das kongruent zu - 1 mod 10 ist.
Da schon 111 ≡ −1 mod 10 ist, ist die Suche beendet, und man kann beginnen.
111+ 1
Die Startzahl ist 1 und der Multiplikator ist = 100.
10
1 mod10
100 mod10
10 mod10
111+ 1 +
·
10
111+ 1 +
·
10
111+ 1 +
·
10
1− 1mod10 = 100
10
100 − 100 mod10 = 10
10
10 − 10 mod10 = 1
10
Nach drei Stellen endet also im Zweiersystem die Periode von 7
1 .
Es ist nur noch die Reihenfolge der Nachkommastellen zu beachten:
Wir hatten die Startzahl 1 und erzeugten danach mithilfe des Algorithmus die
Zahlen 100, 10 und wieder 1, die aber nur den Abbruch des Verfahrens
mitteilen soll. Also bilden die Endziffern der Zahlen 1, 100, 10 in umgekehrter
Reihenfolge die Periode:
1
7
1
111
= = 0,001(2)
.
(10) (2)
Übrigens ist es, da an der dritten Stelle hinter dem Komma im Zweiersystem die
Achtel geschrieben werden, der Grenzwert der geometrischen Reihe
n
∑
i=
1
1
8
i
( ) und es ist
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