Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Es fiel auf, dass bei diesen Darstellungen bestimmte Verknüpfungen häufiger
auftauchen als andere. Wir untersuchten, woran das liegen könnte und fanden
heraus:
Addition:
Multiplikation:
Subtraktion:
Division:
Die Anzahl der Möglichkeiten scheint von der Größe der
Zahl abzuhängen.
Die Anzahl der Möglichkeiten scheint von der Anzahl der
Teiler abzuhängen.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist unendlich.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist unendlich.
Aufschlussreich war die Seite mit der 0. Denn dort wurde 0 additiv als 0 + 0
sowie als 0 + 0 + 0 dargestellt. Das veranlasste eine Schülerin zu der Einsicht,
dass obige Aussage über die Anzahl der Möglichkeiten bei der Addition
korrigiert werden muss. Denn dort gibt es auch unendlich viele Möglichkeiten,
da man ja immer wieder „+ 0“ anhängen darf. Ich fragte dann provokativ, ob die
Multiplikation die einzige Rechenart sei, bei der man eine begrenzte Anzahl von
Möglichkeiten habe. Mir wurde geantwortet, dass man ebenso wie „+ 0“ auch
„· 1“ beliebig oft anfügen dürfe. Während man also bei der Subtraktion und der
Division unendlich viele wesentlich verschiedene Möglichkeiten für die
Darstellung einer Zahl finden kann, so ist man bei der Addition und bei der
Multiplikation auf die wiederholte Verknüpfung mit dem für die jeweilige
Verknüpfung neutralem Element angewiesen, wenn man unendlich viele
Darstellungsmöglichkeiten finden möchte.
Zum Einstieg in die Bruchrechnung wiederholten wir, was oben beschrieben
wurde: Die Tafel sollte mit ganz vielen Namen für eine Zahl beschrieben
werden. Das Resultat wurde bereits beschrieben, diese Aufgabe wurde von der
Lerngruppe gerne und erfolgreich bewältigt. Die vollgeschriebene Tafel lieferte
nun eine Menge Material, das sich ausnutzen ließ, um durch Ordnung nach der
jeweils benutzten Verknüpfung die Invarianzen zusammenzutragen. Dass dies
in einer 6. Klasse nicht auf formaler Ebene geschehen soll, ist klar. Es reicht,
wenn die Lerngruppe die Invarianzen erkennt, sie erklären kann und dann auch
wieder anwenden kann. Dass diese Invarianzen an dieser Stelle nicht zum
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