Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Nun zeigen wir, dass ~ eine Äquivalenzrelation in
0 x ist:
1. Sei (a, b) ∈
0 x .
Dann gilt ab = ba, da die Multiplikation in
0
kommutativ ist.
Aus ab = ba folgt sofort (a, b) ~ (a, b). Also ist ~ auf
0
x reflexiv.
2. Seien (a, b) und (c, d) ∈
0
x und es gelte (a, b) ~ (c, d).
(a, b) ~ (c, d) ⇒ ad = bc ⇒ cb = da, weil die Multiplikation in
0
kommutativ ist und die Relation „=“ symmetrisch ist.
Aus cb = da folgt nun sofort (c, d) ~ (a, b).
Also ist ~ auf
0
x symmetrisch.
3. Seien (a, b), (c, d) und (e, f) ∈
0
x und es gelte (a, b) ~ (c, d) und
(c, d) ~ (e, f).
Dann gilt ad = bc und cf = de.
ad = bc ⇒ adf = bcf ⇒ adf = bde ⇒ (af - be)d = 0 ⇒ af - be = 0, da
d ∈ .
af - be = 0 ⇒ af = be ⇒ (a, b) ~ (e, f). Also ist ~ ist auf x transitiv.
0
Die auf
0
x definierte Relation ~ ist also eine Äquivalenzrelation.
Die Äquivalenzklassen sind die Brüche: K { ( x,
y)
( x,
)
Das heißt K ( a , b)
= K ( c , d )
⇔ (a, b) ~ (c, d).
a
= ~ ( a , b)
}.
( , b)
y
Zum Beispiel ist K { (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8),... }
( 1, 2)
=
Definition: := {K ≥ 0 ( , b)
( a b ∈ x }, statt K a
0 ( a,
b)
schreiben wir auch . b
a
, )
Satz 1: Kürzungsregel / Erweiterungsregel
∀ a ∈
0
∀ b, c ∈ :
ac =
bc
a
b
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