Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Der Vorteil der Bruchschreibweise war noch nicht ganz klar, aber ich zeigte an
einigen Termen, dass die Übersichtlichkeit bei der Bruchschreibweise
gegenüber der Quotientenschreibweise zunimmt. Auch wenn wir noch gar nicht
gelernt hatten, mit Brüchen zu rechnen, hatte ich den Eindruck, dass das
Argument der Übersichtlichkeit überzeugend war als die Tatsache, dass diese
Schreibweise allgemein üblich ist.
Brüche, die im Zähler und im Nenner mit Brüchen dargestellt sind, werden oft
als „Doppelbrüche“ bezeichnet. Klar ist, dass sich der Begriff Doppelbruch nur
auf die Darstellung bezieht. Auf diese Doppelbrüche konnte im Zusammenhang
mit dem Argument der Übersichtlichkeit natürlich noch nicht eingegangen
werden, weil ja noch gar nicht geklärt werden konnte, ob es sich dabei
überhaupt um Brüche handelt, denn nach unserem Verständnis waren Brüche
Quotienten zweier natürlicher Zahlen.
Es folgten zunächst Übungen zum Kürzen und Erweitern in der
Bruchschreibweise. Dabei wurden auch diese beiden Begriffe eingeführt. Es
war mir wichtig, darauf zu achten, dass wir vom Kürzen oder Erweitern einer
Darstellung statt vom Kürzen oder Erweitern eines Bruches sprachen. Denn die
Begriffe Kürzen und Erweitern lassen eine Änderung der Zahl vermuten, wenn
nicht auf genaue Sprache geachtet wird. Dieses Problem ist nicht zu
unterschätzen, da umgangssprachlich ein Erweitern (zum Beispiel eines
Gebäudes) oft mit einem Ausbau, jedenfalls mit einer Vergrößerung
gleichgesetzt wird und Kürzen (beispielsweise einer Hose) mit einer
Verkleinerung.
Durch Kürzen oder Erweitern ändern wir also nicht den Bruch, sondern nur
seine Darstellung. Es lohnte sich an dieser Stelle, die Quotientenschreibweise
der Bruchdarstellung gegenüberzustellen, denn von ersterer war schon die
Invarianz der Division bekannt, die nur eine Analogie zum Kürzen und Erweitern
der Bruchdarstellung ist.
Es fiel schon bald auf, dass jeder Bruch eine Darstellung besitzt, die sich nicht
mehr weiter kürzen lässt. Das ist dann der Fall, wenn der Zähler und der
Nenner den größten gemeinsamen Teiler 1 besitzen. Diese Darstellung
nannten wir die vollständig gekürzte Darstellung.
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