Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

c e a
Zur Eindeutigkeit: seien nun und Repräsentanten von mit
d f b
ggT(c, d) = 1 und ggT(e, f) = 1.
c e
Mit = d f folgt cf = de.
cf = de ⇒ c | de ⇒ c | e, da ggT(c, d) = 1.
Mit derselben Überlegung folgt e | cf ⇒ e | c
Aus c | e und e | c folgt e = c. Daraus ergibt sich sofort d = f.
Hieraus ergibt sich sofort
0 1 2 3
Satz 5: Die Klassen , , , ,... sind paarweise verschieden.
1 1 1 1
Weiter gilt für alle m, n ∈
0
:
m n m ⋅1+
1⋅
n
+ = =
1 1 1⋅1
m n m ⋅ n m ⋅ n
⋅ = =
1 1 1⋅1
1
m n
< ⇔ m < n
1 1
m + n
1
Auffällig ist, dass die Rechenregeln für diese Klassen sehr stark an die
Rechenregeln für die natürlichen Zahlen erinnern.
In der Tat gilt
n
Satz 6: Die Mengen
0
und { n ∈
1
Verknüpfungen zueinander isomorph.
0
} sind mit den erklärten
Beweis: Es reicht zu zeigen, dass ein Isomorphismus von
n
0
nach {
1
n ∈ } existiert.
0
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