Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Diskussionsbedarf gab es im Falle von 15 : 2, denn es war zwar nach der
letzten Stunde schon klar, dass man Dividend und Divisor mit demselben
Faktor multiplizieren darf, ohne dass dadurch der Quotient verändert wird. Nun
wurde einerseits dafür plädiert, dass der Quotient auch gleich bleiben müsste,
wenn man Dividend und Divisor durch dieselbe Zahl teilt, da dies ja früher bei
den natürlichen Quotienten auch so gewesen sei, zum Beispiel 20 : 4 = 10 : 2.
Das beste Schülerargument dafür war jedoch das folgende:
„Wenn man mit 15 : 2 anfängt und dann beide Zahlen mit 2 malnimmt, dann hat
man 30 : 4 und wenn 30 : 4 dasselbe ist wie 15 : 2, dann ist doch auch 15 : 2
das gleiche wie 30 : 4.“
Ein Gespräch zur Ergebnissicherung zeigte, dass nun alle Schülerinnen und
Schüler in der Lage waren, sowohl zu überprüfen, ob es sich in jedem Fall um
Darstellungen der Zahl 30 : 4 handelte, als auch selbst eigene Darstellungen zu
finden.
Wir hatten zwar schon die Invarianzen im Bereich der natürlichen Zahlen
behandelt. Aber ich hatte nicht damit gerechnet, dass es den Schülerinnen und
Schülern so leicht fallen würde, die Invarianz der Division vom Bereich der
natürlichen Zahlen auf den Bereich der rationalen Zahlen zu übertragen, die wir
ja noch gar nicht richtig kennengelernt hatten. Es bereitete ihnen also kein
Problem, Dividend und Divisor mit demselben Faktor zu multiplizieren oder sie
durch dieselbe Zahl zu dividieren, auch wenn es sich um einen nichtnatürlichen
Quotienten handelte.
Wir bezeichneten nun alle Quotienten zweier natürlicher Zahlen, von denen der
Divisor stets von 0 verschieden sein sollte, als Brüche.
Selbstverständlich mussten damit auch alle natürlichen Zahlen Brüche sein.
Denn wir haben ja schon auf vielfältige Weise gesehen, dass jede natürliche
Zahl sich als Quotient zweier natürlicher Zahlen schreiben lässt.
Was in vielen Lehrbüchern aber auch in der Didaktik-Literatur, siehe 3. 2, so oft
als eine besondere Eigenschaft der Brüche angepriesen wird, als ob diese
Eigenschaft nicht von den natürlichen Zahlen schon immer bekannt sei, nämlich
dass jeder Bruch unendlich viele Darstellungen oder Namen hat, war hier
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