Das pragmatische Konzept für den Bruchrechenunterricht

Zahlen einzuführen. Zweitens wissen sie schon, dass jede Division außer durch
0 möglich ist, wenn vorher die Division mit Rest eingeführt worden ist. Auf die
Problematik der Notation wurde bereits in Abschnitt 3. 2 hingewiesen.
Was aber in Klassenstufe 5 meist nicht erfolgt, ist eine weitere Beschäftigung
mit den „Ergebnissen“ solcher Divisionen mit Rest. Zum Beispiel wird
üblicherweise nicht mit ihnen gerechnet. Auch wird oft nicht thematisiert, was
der Ausdruck
3 + 2 : 6 oder auch 20 : 6 eigentlich ist. Wie man letzteren mechanisch in den
ersten überführen kann, ist klar. Aber dass jedem Schüler in Klassenstufe 5 klar
ist, dass 20 : 6 eine Zahl ist, muss bezweifelt werden, schließlich „geht die
Rechnung nicht auf“, es bleibt ja ein Rest. So bietet es sich an, die Division mit
Rest zu wiederholen und unbedingt klarzustellen, dass wir von nun an auch
jeden Quotienten als Zahl ansehen wollen.
Den Schülerinnen und Schülern ist schon seit dem Besuch der Grundschule
bekannt, dass jede additive und jede multiplikative Verknüpfung zweier
natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl liefert. Sie wissen auch, dass
man jede natürliche Zahl durch jede von 0 verschiedene natürliche Zahl
dividieren kann. Manchmal ist der Quotient wieder eine natürliche Zahl,
manchmal nicht. Dann sagen sie zum Beispiel: „geht nicht auf“, weil sie den
Quotienten noch nicht benennen können oder sie erkennen, dass ein von 0
verschiedener Rest bleibt. Mit dem Ziel vor Augen, dass von nun an jeder
Quotient zweier natürlicher Zahlen als Zahl angesehen werden soll, ist also an
der Akzeptanz nichtnatürlicher Quotienten zu arbeiten. Das ist einfacher als es
zunächst klingen mag.
Zum Beispiel können 4 Schülerinnen und Schüler problemlos 28 Bonbons unter
sich aufteilen, weil 28 : 4 = 7 ist. Gibt man ihnen jedoch nicht 28, sondern 30
Bonbons, so können sie diese nicht ohne Rest unter sich aufteilen, da
30 : 4 = 7 + 2 : 4. Obwohl aber der Quotient 30 : 4 nichtnatürlich ist, kann man
sich darauf verlassen, dass die Schülerinnen und Schüler in diesem Kontext
eine Lösung für das Problem finden, um 30 durch vier zu teilen, da die Bonbons
locken. Die Lösungsstrategien können unterschiedlich sein. Möglicherweise
werden sie antworten, dass jeder 7 Bonbons bekommt und 2 übrig bleiben,
vielleicht werden sie auch formulieren, dass jeder 7 bekommt und die 2 übrigen
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