Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 6
Definição 1.4 - Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y, em símbolo, (x, y),
qualquer função definida em E × E com valores em IR satisfazendo as seguintes propriedades:
P1) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ E ,
P2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ E ,
P3) (λx, y) = λ(x, y), ∀λ ∈ IR, ∀x, y ∈ E ,
P4) (x, x) ≥ 0 e (x, x) = 0 se e somente se x = θ(nulo).
Um espaço vetorial real E, onde está definido um produto escalar é chamado espaço euclidiano real.
Daremos a seguir alguns exemplos de produto escalar.
Exemplo 1.2 - Seja E = IR 2 . Sejam x = (x1, x2) t ; y = (y1, y2) t . Mostrar que, definindo:
o IR 2 torna-se um espaço euclidiano real.
(x, y) = x1 y1 + x2 y2 . (1.7)
Solução: Devemos mostrar que as condições P1, P2, P3 e P4 estão satisfeitas, isto é, que (1.7) é um
produto escalar bem definido no IR 2 . De fato:
P1) (x, y) = x1y1 + x2y2 = y1x1 + y2x2 = (y, x).
P2) (x + y, z) = (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 = x1z1 + y1z1 + x2z2 + y2z2
= (x1z1 + x2z2) + (y1z1 + y2z2) = (x, z) + (y, z).
P3) (λ x, y) = λx1y1 + λx2y2 = λ(x1y1 + x2y2) = λ(x, y).
P4) (x, x) = x 2 1 + x 2 2 ≥ 0 (evidente).
(x, x) = x 2 1 + x 2 2 = 0 ⇔ x 2 i = 0 ⇔ xi = 0, ∀i ⇔ x = θ.
Logo, (1.7) é uma boa definição de produto escalar.
Nos próximos exemplos, a verificação de que as condições P1, P2, P3 e P4 são satisfeitas, fica como
exercício.
Exemplo 1.3 - Seja E = IR n . Para x, y ∈ E, isto é, x = (x1, x2, . . . , xn) t , e y = (y1, y2, . . . , yn) t ,
definimos:
(x, y) =
n
i=1
xi yi , (1.8)
como um produto escalar no IR n . (1.8) é chamado de produto escalar usual no IR n . Também,
(x, y) =
com wi fixados e positivos, define no IR n um produto escalar.
n
i=1
wi xi yi, (1.9)
Assim, tanto (1.8) como (1.9) transformam o IR n num espaço euclidiano real.
Exemplo 1.4 - Seja E = C[a, b] o espaço vetorial das funções contínuas reais definidas sobre o intervalo
limitado fechado [a, b]. Se para f, g ∈ C[a, b] definimos:
(f, g) =
b
a
f(x) g(x)dx, (1.10)
tal espaço torna-se um espaço euclidiano real. (1.10) é chamado de produto escalar usual em C[a, b].