Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 217
e assim, concluímos que:
Sk ≤
1 −
2
n2 k S0 ,
− n
ondeS0, representa a soma dos quadrados dos elementos não diagonais da matriz dada. Agora desde
que 1 − 2
n2
< 1, segue que Sk → 0 quando k → ∞, e isto signufica que A → D, quando k → ∞.
− n
Com isso, acabamos de mostrar que o método de Jacobi é convergente para qualquer matriz real simétrica.
Observe ainda que, na prática, não obtemos, em geral uma matriz diagonal, mas sim uma matriz
quase diagonal, ou seja, desde que: Sk−1 ≤ (n 2 − n)(a k−1
pq ) 2 ≤ n 2 (a k−1
pq ) 2 , paramos o processo quando
n|a k pq| < ɛ, onde ɛ é uma precisão pré-fixada. A seguir daremos alguns exemplos.
Exemplo 7.9 - Determinar os auto-valores e correspondentes auto-vetores de:
A =
7
2
2
7
,
pelo método de Jacobi.
Solução: Como a matriz é 2 × 2 para diagonalizar A devemos zerar o elemento (1, 2). Assim: (p, q) =
(1, 2). Temos então que:
φ = a22 − a11
= 0 ⇒ t = 1 .
2a12
Portanto:
c = 1
√ 1 + 1 2 =
√ 2
2 = 0.7071 ,
s = 1 · 1
√
√ = t × c =
2
2 2
= 0.7071 ,
a ′′
11 = a11c 2 − 2a12sc + a22s 2
= 7(0.5) − 2(2)(0.7071)(0.7071) + 7(0.5) = 5 ,
a ′′
22 = a11s 2 + 2a12sc + a22c 2
= 7(0.5) + 2(2)(0.7071)(0.7071) + 7(0.5) = 9 ,
5 0
onde utilizamos as fórmulas: (7.7) e (7.8). Assim: A1 =
.
0 9
Logo os auto-valores de A são: λ1 = 5; λ2 = 9 e desde que:
cosϕ senϕ
0.7071 0.7071
V = U1 =
=
−senϕ cosϕ −0.7071 0.7071
os auto-vetores, correspondentes, são:
v1 =
0.7071
−0.7071
, v2 =
0.7071
0.7071
Exemplo 7.10 - Determinar, usando o método de Jacobi, os auto-valores da matriz:
A =
⎛
4
⎝ 2
2
5
⎞
0
3 ⎠ .
0 3 6
.
,