Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 183
Começamos com uma solução aproximada (xk, yk) e construímos a seguinte, primeiro mantendo y =
yk e variando x. O ponto de mínimo é chamado xk+1. A seguir, mantendo x = xk+1 e variando y. O
ponto de mínimo é chamado yk+1. O processo é repetido iterativamente.
Aplicar o método descrito acima ao sistema:
5x + 2y − 11 = 0
x − 3y − 9 = 0
5.16 - Um processo iterativo para resolver sistemas de equações do tipo Ax − b = 0 é assim definido:
• somar Ix a ambos os membros, obtendo (I + A)x − b = x ,
• realizar iterações a partir de x (0) fazendo:
x (k+1) = (I + A)x (k) − b .
a) Dê uma condição suficiente que assegure a convergência deste processo iterativo.
b) Aplique este processo para determinar a solução do seguinte sistema:
−1.1x1 + 0.1x2 = 1
0.3x1 − 0.3x2 = 0
5.17 - Considere cada um dos seguintes sistemas de 3 equações:
⎧
⎨ 3x1 − 3x2 + 7x3 = 18
⎧
⎨
(I) x1
⎩
10x1
+
−
6x2
2x2
−
+
x3
7x3
=
=
10
27
; (II)
⎩
x1 + 2x2 + 5x3 = 20
x1 + 3x2 + x3 = 10
4x1 + x2 + 2x3 = 12
a) Sem rearranjar as equações, tente achar as soluções iterativamente, usando os métodos de Jacobi
e de Gauss - Seidel, começando com x (0) = (1.01, 2.01, 3.01) t .
b) Rearranje as equações de tal modo que satisfaçam os critérios de convergência e repita o que
foi feito no item a).
c) Verifique suas soluções nas equações originais.
5.18 - Considere o sistema:
⎛
⎜
⎝
−1 2 −1 0
2 −1 0 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x1
x2
x3
x4
⎞
⎟
⎠ =
a) É possível aplicar a este sistema os métodos iterativos que você conhece com garantia de
convergência?
b) Reordene as equações convenientemente de tal forma que seja possível aplicar o método de
Gauss-Seidel com garantia de convergência.
5.19 - Dado o sistema linear:
⎛
⎝
α 2 −2
1 α 1
2 2 α
⎞
⎠
⎛
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎝ 1
2
3
1
2
9
11
⎞
⎠ .
⎞
⎟
⎠ .
para que valores de α haverá convergência se desejarmos utilizar o método de Jacobi?