Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 438
Solução: Como σ = 1 6 , α = 1 e k = 1 54 temos que h = 1 3 e portanto x0 = 0 , x1 = 1 3 , x2 = 2 3 , x3 = 1 e
t0 = 0 , t1 = 1 54 , t2 = 2
54
, . . .. Da condição inicial vem que:
u00 = u(x0, t0) = u(0, 0) = 0(1 − 0) = 0 = U00 ,
u10 = u(x1, t0) = u( 1
3
u20 = u(x2, t0) = u( 2
3
Das condições de fronteira deduz-se que:
Usando o método explícito:
, 0) = 1
3
, 0) = 2
3
1 2
(1 − ) =
3 9 = U10 ,
2 2
(1 − ) =
3 9 = U20 ,
u30 = u(x3, t0) = u(1, 0) = 1(1 − 1) = 0 = U30 .
u01 = u(x0, t1) = u(0, 1
54 ) = 0 = U01 ,
u31 = u(x3, t1) = u(1, 1
54 ) = 0 = U31 .
u11 = u(x1, t1) = 0.1861023 U11 = U10 + σ(U00 − 2U10 + U20) = 5
27
u21 = u(x2, t1) = 0.1861023 U21 = U20 + σ(U10 − 2U20 + U30) = 5
27
Erro de Truncamento Local
= 0.1851852 ,
= 0.1851852 .
O exemplo (13.3) acima mostra claramente que a solução numérica calculada nos pontos (x1, t1) e
(x2, t1) são apenas aproximações para o valor verdadeiro da solução nesses pontos, apesar de termos
utilizado a solução exata no cálculo dos valores anteriores que entram na formação de U1,1 e U2,1. Dessa
forma, o erro introduzido no cálculo acima advém única e exclusivamente da substituição das derivadas
por diferenças finitas, ou em última instância da substituição da equação diferencial pela equação de
diferenças. A esse erro chamaremos de Erro de Truncamento Local, que passaremos a definir precisamente.
Denotando por ui,j = u(xi, tj) e por τi,j o erro ocorrido no cálculo de Ui,j+1 assumindo que todos
os valores anteriores utilizados nesse cálculo são exatos, e ponderado pelo passo temporal k, podemos
definir:
τi,j = u(xi, tj+1) − Ui,j+1
=
k
u(xi, tj+1) − (Ui,j + σ(Ui−1,j − 2Ui, j + Ui+1,j))
,
k
onde utilizamos a equação de diferenças (13.17) para substituir o valor de Ui,j+1. Usando agora a hipótese
de que Ui,j = u(xi, tj), ∀i temos:
τi,j = u(xi, tj+1) − (u(xi, tj) + σ(u(xi−1, tj) − 2u(xi, tj) + u(xi+1, tj)))
k
que, substituindo o valor de σ pode ser reescrita na forma:
ui,j+1 − ui,j
k
= α
h 2 (ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j) + τi,j . (13.20)
,