Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 336
O erro na fórmula do trapézio generalizada é obtido adicionando-se N erros da forma (11.14); onde
N = b − a.
Logo:
h
xN
f(x)dx = [f (x0) + 2 (f (x1) + . . . + f (xN−1)) + f (xN )]
x0
− Nh3
12 f ′′ (ξ) , x0 < ξ < xN
= h
2 [f (x0) + 2 (f (x1) + . . . + f (xN−1)) + f (xN)]
−
(b − a)
12
h 2 f ′′ (ξ) , x0 < ξ < xN .
Observe que o termo do resto não deve, na prática, ser subtraído do resultado aproximado, obtido
pela aplicação da regra do trapézio, visto que nunca conseguíriamos o resultado exato, pois o ponto ξ que
fornece a igualdade, existe e é único mas não temos como determiná-lo. Assim a aplicação da fórmula do
termo do resto é útil quando queremos o resultado com uma precisão pré-fixada, como mostraremos no
exemplo a seguir.
Exemplo 11.6 - Determinar o menor número de intervalos em que podemos dividir [0,1.2] para obter:
1.2
0
e x cos x dx ,
pela regra do trapézio com três casas decimais precisas.
Solução: Como queremos determinar o menor número de intervalos, devemos usar a expressão do erro
para a fórmula do trapézio generalizada. Assim:
R(f) = Nh3
12 f ′′ (ξ), x0 < ξ < xN ,
⇒ |R(f)| ≤ Nh3
12
max
0≤t≤1.2 |f ′′ (t)| , (11.15)
desde que não podemos determinar f ′′ (ξ). Devemos então calcular a derivada segunda da f e avaliar seu
valor máximo no intervalo [0, 1.2]. Temos:
f(t) = e t cos t , f ′ (t) = e t (cos t − sen t) ,
f ′′ (t) = e t (cos t − sen t) − e t (sen t + cos t)
⇒ f ′′ (t) = − 2 e t sen t .