Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 167
Temos que as iterações são definidas por:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x (k+1)
1 = −0.2 x (k)
2
x (k+1)
2 = −0.75 x (k+1)
1
x (k+1)
3 = −0.5 x (k+1)
1
− 0.2x(k) 3
+ 1
− 0.25x (k)
3
− 0.5x (k+1)
2
e a partir de x (0) = (0, 0, 0) t , obtemos para x (1) os seguintes valores:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+ 1.5
x (1)
1 = −0.2x (0)
2 − 0.2x(0) 3 + 1 = −0.2(0) − 0.2(0) + 1 = 1
x (1)
2 = −0.75x (1)
1
x (1)
3 = −0.5x (1)
1
Continuando as iterações obtemos a tabela:
Agora, desde que:
e portanto
− 0.25x(0) 3 + 1.5 = −0.75(1) − 0.25(0) + 1.5 = 0.75
− 0.5x(1) 2 = −0.5(1) − 0.5(0.75) = −0.875
k 0 1 2 3 4
x1 0 1 1.025 1.0075 1.0016
x2 0 0.75 0.95 0.9913 0.9987
x3 0 - 0.875 - 0.9875 - 0.9994 - 1.0002
x (4) − x (3) =
x (4) − x (3) | ∞
x (4) ∞
segue que a solução do sistema, com ɛ < 10−2 , é:
⎛
Exercícios
5.3 - Dado o sistema: ⎧ ⎨
⎩
x =
⎛
⎝ −0.0057
0.0074
0.00075
⎞
⎠ ,
= 0.0074
1.0016 0.0074 < 10−2 ,
⎝ 1.0016
0.9987
−1.0002
⎞
⎠ .
4x1 + 2x2 + 6x3 = 1
4x1 − x2 + 3x3 = 2
−x1 + 5x2 + 3x3 = 3
Mostrar que reoordenando as equações e incógnitas podemos fazer com que o critério de Sassenfeld
seja satisfeito, mas não o das linhas.
5.4 - Considere o sistema: ⎧⎨
⎩
5x1 + 2x2 + x3 = 7
−x1 + 4x2 + 2x3 = 3
2x1 − 3x2 + 10x3 = −1
a) Verificar a possiblidade de aplicação do método de Gauss-Seidel, usando o critério de Sassenfeld.
b) Se possível, resolvê-lo pelo método do item a), obtendo o resultado com ɛ < 10 −2 .