Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 2. ANÁLISE DE ARREDONDAMENTO EM PONTO FLUTUANTE 46
Assim para a = 10 e n = 10, temos que:
0.0082645 < y10 < 0.0090909 . (2.2)
Agora para calcular numericamente o valor da integral dada, podemos primeiramente expressar o
integrando usando o Teorema binomial, isto é:
x n = [(x + a) − a] n =
n
(−1) k
k=0
Substituindo x n na expressão para yn, obtemos:
e assim:
yn =
yn =
=
=
1
0
n
k=0
n
(−1) k
k=0
(−1) k a k
n−1
(−1) k a k
k=0
+ (−1) n a n
n−1
(−1) k a k
k=0
+ (−a) n ln
n
k
n
k
n
k
(x + a) n−k a k .
(x + a) n−k−1 a k dx
1
(x + a) n−k−1 dx
0
1
n
(x + a)
k 0
n−k−1 dx
1
n
(x + a)
n
−1 dx
n
k
1 + a
a .
0
1
n − k ((1 + a)n − k − a n−k
)
Para a = 10 e n = 10, utilizando (2.3) para calcular yn, obtemos yn = −2.000000, que comparado
com (2.2), está totalmente errado. A razão para isso é uma extrema propagação de erro. Para n = 10, o
termo correspondente a k = 5 na soma (2.3) é igual a:
(−1) 5 a 5
10
5
1
5 ((1 + a)5 − a 5
)
= −3.13 × 10 11 .
Assim para uma calculadora com 10 dígitos na mantissa, no mínimo dois dígitos antes do ponto
decimal do resultado são não confiáveis, bem como os dígitos depois do ponto decimal.
2.5.3 Instabilidade Numérica
Se um resultado intermediário de um cálculo é contaminado por um erro de arredondamento, este
erro pode influenciar todos os resultados subsequentes que dependem desse resultado intermediário. Os
erros de arredondamento podem propagar-se mesmo que todos os cálculos subsequentes sejam feitos com
precisão dupla. Na realidade, cada novo resultado intermediário introduz um novo erro de arredondamento.
É de se esperar portanto, que todos esses erros influenciem o resultado final. Numa situação
simples como o caso de uma soma, o erro final pode ser igual a soma de todos os erros intemediários.
(2.3)